Métodos Práctica 7

//CONSULTAR PARA ENTENDER BIEN EL ALGORITMO DE NEWTON.
//Preguntar qué pasa si la matriz de mínimos cuadrados no es inversible.

Ejercicio 1:
Apartado a)
function imagenAprox = metodoLagrange(conjPares, x)
    imagenAprox = 0
    for i = 1:size(conjPares)(1)
        L = 1
        for j = 1:size(conjPares)(1)
            if(i ~= j)
                L = L * ( x - conjPares(j,1) ) / ( conjPares(i,1) - conjPares(j,1) )
            end
        end
        imagenAprox = imagenAprox + L * conjPares(i,2)
    end
endfunction

function imagenAprox = interpolacionNewton(conjPares, x)
    n = size(conjPares)(1) - 1
    for i = 1:n+1
        a(i) = conjPares(i,2)
    end

    for i = 2:n+1
        for j = n+1:-1:i
            a(j) = (a(j) - a(j-1)) / (conjPares(j,1) - conjPares(j-i+1,1))
        end
    end

    imagenAprox = a(n+1)
    for i = n:-1:1
        imagenAprox = a(i) + (x - conjPares(i,1)) * imagenAprox
    end
endfunction


--> paresLineal = [0.2 1.2214; 0.4 1.4918];
--> paresCubica = [0 1; 0.2 1.2214; 0.4 1.4918; 0.6 1.8221];
--> metodoLagrange(paresLineal, 1/3)
 ans  =
   1.4016667
--> metodoLagrange(paresCubica, 1/3)
 ans  =
   1.3955494

--> interpolacionNewton(paresLineal, 1/3)
 ans  =
   1.4016667
--> interpolacionNewton(paresCubica, 1/3)
 ans  =
   1.3955494



Apartado b)
//Ultra específico porque justo estamos trabajando con una función creciente.
function cota = cotaDeError(conjPares, x)
    cota = 1
    for i = 1: size(conjPares)(1)
        cota = cota * (x - conjPares(i,1))
    end
    cota = abs(cota / factorial(size(conjPares)(1)) * conjPares(i, 2))
endfunction


--> cotaDeError(paresLineal, 1/3)
 ans  =
   0.0066302
--> errorLineal = abs(interpolacionNewton(paresLineal, 1/3) - 1.395612425)
 errorLineal  =
   0.0060542
--> cotaDeError(paresCubica, 1/3)
 ans  =
   0.00006
--> errorCubico = abs(interpolacionNewton(paresCubica, 1/3) - 1.395612425)
 errorCubico  =
   0.000063



Ejercicio 2: Carpeta.



Ejercicio 3:
El error de la aproximación será menor a (10**-6)/2 pues está acotado por el producto de las diferencias contra todos los nodos:
--> 0.15 * 0.05 * 0.05 * 0.15 * 0.25 * 0.35 / factorial(6)
 ans  =
   6.836D-09

--> pares = [2 0.2239; 2.1 0.1666; 2.2 0.1104; 2.3 0.0555; 2.4 0.0025; 2.5, -0.0484];
--> interpolacionNewton(pares, 2.15)
 ans  =
   0.1383688
--> interpolacionNewton(pares, 2.35)
 ans  =
   0.0287312



Ejercicio 4:
De la primera expresión, despejo que f(0) = 1, f(1) = 3.
De la segunda expresión, despejo que f(2) = 3.
Ampliando la tercera expresión, y con los datos anteriores, puede despejarse que f(3) = 3.
Por último, aplicamos el método de Lagrange con los datos obtenidos para aproximar f(2.5).
--> metodoLagrange([0 1; 1 3; 2 3; 3 3], 2.5)
 ans  =
   2.875



Ejercicio 5:
Apartado a)
P(x) = f[-1] + (x + 1)*f[-1,1] + (x + 1)*(x - 1)*f[-1,1,2] + (x + 1)*(x - 1)*(x - 2)*f[-1,1,2,4]
P(x) = 2 + (x + 1)*1 + (x^2 - x + x - 1)*-2 + (x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x + x^2 - 2x - x + 2)*2
P(x) = 2 + (x + 1) + (-2x^2 + 2) + (2x^3 - 4x^2 - 2x + 4) = 2x^3 - 6x^2 - x + 9

Apartado b)
P(0) = 9

Apartado c)
|Error| <= |(1)(-1)(-2)(-4)/4! * 33.6| =  11.2



Ejercicio 6:

function [polinomio, epsilon] = minimosCuadrados(A, b)
    coeficientes = metodoGauss(A' * A, A' * b)
    polinomio = poly(coeficientes, 'x', "coeff")
    epsilonI = A * coeficientes - b
    epsilon = epsilonI' * epsilonI
endfunction

--> b = [1; 1.004; 1.31; 1.117; 1.223; 1.422]
 b  =
   1.
   1.004
   1.31
   1.117
   1.223
   1.422
--> Alineal = [1 0; 1 0.15; 1 0.31; 1 0.5; 1 0.6; 1 0.75]
 Alineal  =
   1.   0.
   1.   0.15
   1.   0.31
   1.   0.5
   1.   0.6
   1.   0.75
--> Acuad = [1 0 0; 1 0.15 0.15**2; 1 0.31 0.31**2; 1 0.5 0.5**2; 1 0.6 0.6**2; 1 0.75 0.75**2]
 Acuad  =
   1.   0.     0.
   1.   0.15   0.0225
   1.   0.31   0.0961
   1.   0.5    0.25
   1.   0.6    0.36
   1.   0.75   0.5625
--> Acub = [1 0 0 0; 1 0.15 0.15**2 0.15**3; 1 0.31 0.31**2 0.31**3; 1 0.5 0.5**2 0.5**3; 1 0.6 0.6**2 0.6**3; 1 0.75 0.75**2 0.75**3]
 Acub  =
   1.   0.     0.       0.
   1.   0.15   0.0225   0.003375
   1.   0.31   0.0961   0.029791
   1.   0.5    0.25     0.125
   1.   0.6    0.36     0.216
   1.   0.75   0.5625   0.421875
--> [Plineal, Elineal] = minimosCuadrados(Alineal, b)
 Elineal  =
   0.0536218
 Plineal  =
   0.9960666 +0.4760174x
--> [Pcuad, Ecuad] = minimosCuadrados(Acuad, b)
 Ecuad  =
   0.0531417
 Pcuad  =
                                   2
   1.007732 +0.3542987x +0.1635646x
--> [Pcub, Ecub] = minimosCuadrados(Acub, b)
 Ecub  =
   0.0405174
 Pcub  =
                                    2          3
   0.9653196 +1.6154731x -4.3450249x  +3.97241x



Ejercicio 7:
Apartado a)

--> b = [102.56; 113.18; 130.11; 142.05; 167.53; 195.14; 224.87; 256.73; 299.5; 326.72]
 b  =

   102.56
   113.18
   130.11
   142.05
   167.53
   195.14
   224.87
   256.73
   299.5
   326.72


--> Alineal= [1 4; 1 4.2; 1 4.5; 1 4.7; 1 5.1; 1 5.5; 1 5.9; 1 6.3; 1 6.8; 1 7.1]
 Alineal  =

   1.   4.
   1.   4.2
   1.   4.5
   1.   4.7
   1.   5.1
   1.   5.5
   1.   5.9
   1.   6.3
   1.   6.8
   1.   7.1

--> Acuad = Alineal;
--> Acuad(:, 3) = Alineal(:, 2) .* (Alineal(:, 2))
 Acuad  =

   1.   4.    16.
   1.   4.2   17.64
   1.   4.5   20.25
   1.   4.7   22.09
   1.   5.1   26.01
   1.   5.5   30.25
   1.   5.9   34.81
   1.   6.3   39.69
   1.   6.8   46.24
   1.   7.1   50.41


--> Acub = Acuad;
--> Acub(:, 4) = Acuad(:, 2) .* Acuad(:, 3)
 Acub  =

   1.   4.    16.     64.
   1.   4.2   17.64   74.088
   1.   4.5   20.25   91.125
   1.   4.7   22.09   103.823
   1.   5.1   26.01   132.651
   1.   5.5   30.25   166.375
   1.   5.9   34.81   205.379
   1.   6.3   39.69   250.047
   1.   6.8   46.24   314.432
   1.   7.1   50.41   357.911

--> [Alin, Elin] = minimosCuadrados(Alineal, b)
 Elin  =
   329.01319
 Alin  =
  -194.13824 +72.084518x
--> [Acuad, Ecuad] = minimosCuadrados(Acuad, b)
 Ecuad  =
   0.0014429
 Acuad  =
                                    2
   1.2355604 -1.1435234x +6.6182109x
--> [Acub, Ecub] = minimosCuadrados(Acub, b)
 Ecub  =
   0.0005273
 Acub  =
                                    2            3
   3.4290944 -2.3792211x +6.8455778x  -0.0136746x


Ejercicio 8:

function imagenAprox = metodoLagrange(conjPares, x)
    imagenAprox = 0
    for i = 1:size(conjPares)(1)
        L = 1
        for j = 1:size(conjPares)(1)
            if(i ~= j)
                L = L * ( x - conjPares(j,1) ) / ( conjPares(i,1) - conjPares(j,1) )
            end
        end
        imagenAprox = imagenAprox + L * conjPares(i,2)
    end
endfunction

function resultado = aplicame(funcion, x, tamanio)
    for i = 1:tamanio
        resultado(i) = funcion(x(i))
    end
endfunction


--> deff("y = funcion(x)", "y = 1./(x.**2 + 1)")
--> paresn2 = linspace(-5, 5, 3);
--> paresn6 = linspace(-5, 5, 7);
--> paresn14 = linspace(-5, 5, 15);
--> conjParesn2 = paresn2';
--> conjParesn2(:, 2) = funcion(conjParesn2);

--> conjParesn2 = paresn2'
 conjParesn2  =

  -5.
   0.
   5.


--> conjParesn2(:, 2) = funcion(conjParesn2)
 conjParesn2  =

  -5.   0.0384615
   0.   1.
   5.   0.0384615


--> conjParesn6 = paresn6';

--> conjParesn6(:, 2) = funcion(conjParesn6)
 conjParesn6  =

  -5.          0.0384615
  -3.3333333   0.0825688
  -1.6666667   0.2647059
   0.          1.
   1.6666667   0.2647059
   3.3333333   0.0825688
   5.          0.0384615


--> conjParesn14 = paresn14';

--> conjParesn14(:, 2) = funcion(conjParesn14);

--> deff("y = Pn2(x)","y = metodoLagrange(conjParesn2, x)")

--> deff("y = Pn6(x)","y = metodoLagrange(conjParesn6, x)")

--> deff("y = Pn14(x)","y = metodoLagrange(conjParesn14, x)")

--> Abscisas = linspace(-5,5,100);

--> Imagenesn2 = Pn2(Abscisas=
Imagenesn2 = Pn2(Abscisas=
                         ^^
Error: syntax error, unexpected end of file

--> Imagenesn2 = Pn2(Abscisas)
at line     7 of function metodoLagrange ( C:\Users\usuario\Desktop\Runge.sce line 7 )
at line     2 of function Pn2

Inconsistent row/column dimensions.

--> exec('C:\Users\usuario\Desktop\Runge.sce', -1)

--> Imagenesn2 = aplicame(Pn2, Abscisas, 100);

--> Imagenesn6 = aplicame(Pn6, Abscisas, 100);

--> Imagenesn14 = aplicame(Pn14, Abscisas, 100);

--> plot(Abscisas, Imagenesn2, 'red')
WARNING: Transposing row vector X to get compatible dimensions

--> plot(Abscisas, Imagenesn6, 'blue')
WARNING: Transposing row vector X to get compatible dimensions

--> plot(Abscisas, Imagenesn14, 'green')
WARNING: Transposing row vector X to get compatible dimensions

--> ImagenesRealDeal = aplicame(funcion, Abscisas, 100);

--> plot(Abscisas, ImagenesRealDeal, 'black')
WARNING: Transposing row vector X to get compatible dimensions


Ejercicio 10:
function t = conversion(x)
    t = ((%pi/2) - x* %pi/2)/2
endfunction

function resultado = aplicame(funcion, x, tamanio)
    for i = 1:tamanio
        resultado(i) = funcion(x(i))
    end
endfunction


--> raicesCheb = [cos(%pi/8);cos(3*%pi/8);cos(5*%pi/8);cos(7*%pi/8)]
 raicesCheb  =
   0.9238795
   0.3826834
  -0.3826834
  -0.9238795
--> raicesInterpolacion = aplicame(conversion, raicesCheb, 4)
 raicesInterpolacion  =

   0.0597849
   0.4848393
   1.085957
   1.5110115