Stata Assignment 1 Econometria

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*                                                                           *
* Corso di laurea in "Discipline Economiche e Sociali"                      *
* Classe 19                                                                 *
* Corso 20203: Analisi Econometrica                                         *
* Assignment 1                                                              *
* Gruppo 2:                                                                 *
* Baudo Riccardo - 1347293                                                  *
* Belardinelli Paolo - 1610476                                              *
* Beldì Luca - 1351030                                                      *
*                                                                           *
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//Question 1:
summarize
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*                                                                           *
* Il dataset presenta 5 variabili:                                          *
*   1) y      - Indica l'output di ogni impresa                             *
*   2) x1     - Indica il primo fattore produttivo usato dall'impresa       *
*   3) x2     - Indica il secondo fattore produttivo                        *
*   4) z      - Rappresenta la diagonale della matrice proporzionale alla   *
*               varianza dei residui nel modello GLS                        *
*   5) sector - è una variabile indicatrice del settore di appartenenza di  *
*               ciascuna impresa                                            *
*                                                                           *
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//Question 2 (a):

gen ln_y= ln(y)
gen ln_x1= ln(x2)
gen ln_x2= ln(x1)
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*                                                                           *
* Effettuiamo una trasformazione logaritmica delle variabili. Ci siamo      *
* ricondotti alla costruzione di un modello Cobb-Douglas in cui i           *
* coefficienti beta possono essere interpretati come elasticitˆ dell'output *
* ad un fattore produttivo.                                                 *
* Es: il coefficiente di ln_x2 indicherà che a una variazione dell'1% del   *
*     secondo fattore produttivo corrisponderà una variazione %             *
*     dell'output pari al coefficiente di ln_x2 stesso.                     *
*                                                                           *
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// Question 2 (b):
regress ln_y ln_x1 ln_x2
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*                                                                           *
* Avendo incluso la variabile nel modello, possiamo considerare il          *
* coefficente R^2 come una misura della capacita' esplicativa del modello   *
* e appare essere particolarmente alto (81.68%).                            *
* I test di significatività sui parametri portano a rifiutare l'ipotesi     *
* di mancata significatività sia congiunta sia individuale dei parametri    *
* ad ogni ragionevole livello di significatività.                           *
*                                                                           *
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//Question 3:
test ln_x1 + ln_x2 = 1
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*                                                                           *
* Il test non porta a rifiutare l'ipotesi di rendimenti di scala costanti   *
* a nessun ragionevole livello di significatività.                          *
* Si può affermare che l'output aumenta in misura pari a quella             *
* dell'aumento congiunto dei fattori produttivi.                            *
* Ad esempio il raddoppio di entrambi gli input comporta il raddoppio       *
* dell'output                                                               *
*                                                                           *
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//Question 4:
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*                                                                           *
* 1) All'equazione che descrive il modello generale:                        *
*       ln_y = b0 + ln_x1*b1 + ln_x2*b2 + e                                 *
* 2) Applichiamo il vincolo b2 = 1 - b1                                     *
* 3) Ottenendo la seguente riparametrizzazione:                             *
*       ln_y = b0 + ln_x1*b1 + ln_x2(1-b1) + e                              *
*       ln_y = b0 + ln_x1*b1 + ln_x2 - ln_x2*b1 + e                         *
*       ln_y = b0 + (ln_x1-ln_x2)b1 + ln_x2 + e                             *
* 4) Sottraiamo x_2 a entrambi i membri                                     *
*       ln_y - ln_x2 = b0 + (ln_x1-ln_x2)b1 + e                             *
* 5) Stimiamo i coefficienti OLS del modello                                *
*       ln_y - ln_x2 = b0 + (ln_x1-ln_x2)b1 + ln_x2*b3 + e                  *
* 6) Eseguiamo il test di esclusione relativo a b3                          *
*                                                                           *
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generate ln_x3=ln_x1-ln_x2
generate ln_y3=ln_y-ln_x2
regress ln_y3 ln_x3 ln_x2
test ln_x2=0
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*                                                                           *
* Senza alcuna sorpresa il test fornisce gli stessi risultati del           *
* precedente (Question 3)                                                   *
*                                                                           *
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//Question 5 (a):
quietly capture do "http://fmwww.bc.edu/repec/bocode/w/whitetst.ado"
 whitetst
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*                                                                           *
* Il test ci porta a rifiutare l'ipotesi nulla di omoschedasticità          *
* anche per livelli di significatività molto bassi.                         *
* Possiamo affermare che il campione                                        *
* mostra segni di eteroschedasticità di tipo White. Gli stimatori della     *
* matrice varianza-covarianza dei coefficienti OLS sono quindi distorti e,  *
* di conseguenza, anche i test di significatività degli stessi parametri    *
*                                                                           *
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//Question 5 (b):
regress ln_y ln_x1 ln_x2, vce(robust)
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*                                                                           *
* La stima robusta della matrice di varianza-covarianza dei residui porta a *
* stime delle deviazioni standard dei coefficienti OLS relativi ai fattori  *
* produttivi più elevate che nel caso precedente, ma i test di              *
* significatività sui parametri ci portano alle stesse conclusioni del      *
* caso precedente                                                           *
*                                                                           *
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test ln_x1 + ln_x2 = 1
regress ln_y3 ln_x3 ln_x2, vce(robust)
test ln_x2
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*                                                                           *
* L'ipotesi di rendimenti di scala costanti, come nel caso precedente,      *
* non viene rifiutata                                                       *
*                                                                           *
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//Question 6:
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*                                                                           *
* Prepariamo le variabili pesandole per la radice quadrata di z             *
*                                                                           *
\***************************************************************************/
generate wei_y=ln_y/sqrt(z)
generate wei_x1=ln_x1/sqrt(z)
generate wei_x2=ln_x2/sqrt(z)
generate unity=1
generate wei_unity= unity/sqrt(z)
/***************************************************************************\
*                                                                           *
* Ora procediamo alla regressione della variabile dipendente pesata sui     *
* logaritmi dei fattori produttivi pesati                                   *
*                                                                           *
\***************************************************************************/
regress wei_y wei_unity wei_x1 wei_x2, noconstant
test wei_x1 + wei_x2 = 1
/***************************************************************************\
*                                                                           *
* L'ipotesi di rendimenti di scala costanti, ancora una volta, non può      *
* essere rifiutata                                                          *
*                                                                           *
\***************************************************************************/
quietly regress
/***************************************************************************\
*                                                                           *
* Essendo Var(e/sqrt(z))=sigma^2                                            *
* Lo stimatore per sigma^2 è dato dalla somma degli errori pesati divisi    *
* per i loro gradi di libertà (403), da cui la stima pari a                 *
*                                                                           *
\***************************************************************************/

display e(rmse)^2

//Question 7:
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*                                                                           *
* Definito il bias come "E(b_omitted)-beta" procediamo alla costruzione di  *
* uno stimatore di tale quantità utilizzando due metodi:                    *
*                                                                           *
* Metodo 1:                                                                 *
*   1) Si può dimostrare che il bias dovuto all'omissione di ln_x2 equivale *
*      al vettore dei coefficienti OLS stimati derivanti dalla regressione  *
*      di ln_x2*b_2 su ln_x1 e la costante, dove b_2 è il coefficiente OLS  *
*      (quindi non distorto) per beta_2.                                    *
*   2) Procediamo alla costruzione della variabile ln_x2*b_2.               *
*   3) Regrediamo ln_x2*b_2 su ln_x1 e una costante.                        *
*   4) I coefficienti ottenuti corrisponderanno alle rispettive distorsioni *
*      dovute alla variabile omessa.                                        *
*                                                                           *
* Metodo 2:                                                                 *
*   1) Sostituiamo a beta, in "E(b_omitted)-beta", un suo stimatore non     *
*      distorto, in questo caso lo stimatore OLS della regressione completa.*
*      Lo stimatore così costruito gode della proprietà di non distorsione  *
*       in quanto E(E(b_omitted)-b_ols)=E(b_omitted)-beta.                  *
*   2) Per procedere alla stima costruiamo la regressione OLS senza omis-   *
*      -sione della variabile ln_x2 e ne salviamo i coefficienti b stimati. *
*   3) Successivamente procediamo alla stima dei coefficienti OLS per il    *
*      modello che prevede l'esclusione della variabile ln_x2.              *
*   4) Infine si procede alla stima del bias semplicemente sottraendo alla  *
*      stima dei coefficienti della seconda regressione quelli della prima  *
*      regressione.                                                         *
*                                                                           *
*   L'operazione viene quindi ripetuta per il modello WLS                   *
*                                                                           *
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***************************************************************************
//Question 7(a): OLS
//////////////////////////////////     METODO 1
quietly regress ln_y ln_x1 ln_x2                              //Procedo alla regressione senza omissione di variabile
mat b_ols_m1=e(b)
svmat double b_ols_m1, names(matcol)                          //Salvo i coefficienti OLS non distorti per i beta
generate b_vec_ols_lnx2= b_ols_m1ln_x2[1]                     //Creo un vettore con componenti tutte uguali a b_olsln_x2
generate z_ols_omit=ln_x2*b_vec_ols_lnx2                      //Creo la variabile ln_x2*b_olsln_x2
quietly regress z_ols_omit ln_x1                              //Regredisco la nuova variabile su ln_x1 e costante

                                                              //Mostro i coefficienti stimati dell'ultima regressione (ln_x2)
matrix list e(b)                                              //che corrispondono al bias dovuto a omitted variable
//////////////////////////////////     METODO 2
quietly regress ln_y ln_x1 ln_x2                              //Procedo alla regressione senza omissione di variabile
mat b_ols_m2=e(b)
svmat double b_ols_m2, names(matcol)                          //Salvo i coefficienti OLS non distorti per i beta
quietly regress ln_y ln_x1                                    //Procedo alla regressione con omissione di variabile
mat b_ols_bias=e(b)
svmat double b_ols_bias, names(matcol)                        //Salvo i coefficienti OLS distorti per i beta
display b_ols_biasln_x1 - b_ols_m2ln_x1                       //Bias per b1[OLS]
display b_ols_bias_cons - b_ols_m2_cons                       //Bias per b0[OLS]
***************************************************************************
//Question 7 (b): WLS
//////////////////////////////////     METODO 1
quietly regress wei_y wei_unity wei_x1 wei_x2, noconstant     //Procedo alla regressione senza omissione di variabile
mat b_wls_m1=e(b)
svmat double b_wls_m1, names(matcol)                          //Salvo i coefficienti WLS non distorti per i beta
generate b_vec_wls_weix2= b_wls_m1wei_x2[1]                   //Creo un vettore con componenti tutte uguali a b_olsln_x2
generate z_wls_omit=wei_x2*b_vec_wls_weix2                    //Creo la variabile wei_x2*b_olswei_x2
quietly regress z_wls_omit wei_x1 wei_unity, noconstant       //regredisco la nuova variabile su wei_x1 e costante
matrix list e(b)


//////////////////////////////////     METODO 2
quietly regress wei_y wei_unity wei_x1 wei_x2, noconstant     //Procedo alla regressione senza omissione di variabile
mat beta_wls=e(b)
svmat double beta_wls, names(matcol)                          //Salvo i coefficienti WLS non distorti per i beta
quietly regress wei_y wei_unity wei_x1, noconstant            //Procedo alla regressione con omissione di variabile
mat beta_wls_bias=e(b)
svmat double beta_wls_bias, names(matcol)                     //Salvo i coefficienti WLS distorti per i beta
display beta_wls_biaswei_x1 - beta_wlswei_x1                  //Bias for b1[WLS]
display beta_wls_biaswei_unity - beta_wlswei_unity            //Bias per b0[WLS]
***************************************************************************



//Question 8:
/***************************************************************************\
*                                                                           *
* Procediamo all'implementazione del test classico di Chow. Esso è un test  *
* di invarianza dei parametri. Viene qui applicato per testare l'invarianza *
* dei parametri tra i due settori d'imprese considerati.                    *
*                                                                           *
* Facciamo un esempio esplicativo:                                          *
*
*  Hps]                                                                     *
*   1) la funzione di produzione delle imprese ripartite tra i due settori  *
*      è per convenzione una Cobb-Douglas: cioè Y=(L)^a*(K)^b (dove         *
*      Y=output; L =lavoro=x1; K=capitale=x2.)                              *
*   2) Facendo la trasformazione logaritmica, richiesta alla question 2(a)  *
*      abbiamo ottenuto la seguente funzione di produzione                  *
*      -> lnY = a*lnL + b*lnK (dove a=impatto marginale percentuale         *
*      (l'elasticità) del lavoro sull'output; b=impatto marginale           *
*      percentuale (elasticità) del capitale sull'output)                   *
*                                                                           *
*  Ts] Essendo le 406 imprese (# osservazioni) ripartite tra due            *
*      settori (1 e 2) utilizziamo il Chow test classico per testare se     *
*      c'è invarianza dei parametri a e b nei 2 settori.                    *
*                                                                           *
*   Il precedente test potrebbe far rifiutare l'ipotesi nulla, non          *
*   necessariamente a causa dell'effettiva eterogeneità dei parametri,      *
*   ma a causa della presenza di fenomeni di eteroschedasticità di tipo     *
*   White nei dati.                                                         *
*   Per ovviare a tale possibilità procederemo a rendere robusta la stima   *
*   della matrice delle varianze-covarianze del modello                     *
*                                                                           *
* Procedimento:                                                             *
*    1) Generiamo la dummy variable relativa al settore 2.                  *
*    2) Tramite quest'ultima creiamo le variabili specifiche per le imprese *
*       del secondo settore.                                                *
*    3) Regrediamo la variabile dipendente sui regressori ln_x1, ln_x2 e    *
*       quelli peculiari al secondo settore                                 *
*    4) Implementiamo il test Chow classico verificando che i coefficienti  *
*       relativi solamente al secondo settore (dummy inclusa) siano         *
*       congiuntamente non statisticamente diversi da 0                     *
*                                                                           *
* Ripetiamo quindi il procedimento con stimatori per gli                    *
* standard error robusti.                                                   *
*                                                                           *
\***************************************************************************/


generate d2=sector-1                                          //Genero la variabile dummy per il settore 2
                                                              //Genero la variabile relativa al primo output
generate ln_x1_2=ln_x1*d2                                     //pertinente alle imprese del secondo settore
generate ln_x2_2=ln_x2*d2                                     //Genero la variabile relativa al secondo output
                                                              //pertinente alle imprese del secondo settore


//CLASSIC CHOW TEST ASSUMENDO OMOSCHEDASTICITA':

                                                              //Regredisco l'output sui 2 input e sulle 3 variabili
regress ln_y ln_x1 ln_x2 ln_x1_2 ln_x2_2 d2                   //appena generate
                                                              //Implementiamo il test di Chow classico con
test ln_x1_2 ln_x2_2 d2                                       //l'assunzione di omoschedasticitˆ




//CHOW TEST ROBUST TO ETEROSCHEDASTICITY:

                                                              //Eseguo la regressione precedente, rendendo il modello
regress ln_y ln_x1 ln_x2 ln_x1_2 ln_x2_2 d2, vce(robust)      //robusto
                                                              //Implementiamo il test di Chow classico con
test ln_x1_2 ln_x2_2 d2                                       //senza l'assunzione di omoschedasticità
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