#  講義予定

  * 須田先生 4~5月 偏微分方程式
  * 今井先生 6~7月 離散的なアルゴリズム
  * 成績はそれぞれ評価して足して2で割る

#  Poisson方程式

$$ \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^ 2 u}{\partial y^2} =
-f$$

  * $x,y$ : 座標
  * $f$ : 既知関数
  * $u$ : 未知関数

#  第一種境界条件あるいはDirichlet条件

  * uの値を与える
  * $ u (x,0) = a (x) $

#  第二種境界条件あるいはNeumann条件

  * uの微分を与える
  * $\frac{\partial u}{\partial y} (x,1) = b (x)$

#  差分法 (Finite Difference Method) FDM

##  格子を作る

$\delta x = \frac{1}{n},x _ i = i \delta x
\delta y = \frac{1}{m},y _ i = i \delta y$

##  格子点上に未知数を置く

$u(x _ i,y _ j)$の近似値として$u _ {i,j}$を置く,$u _ {i,j}$は未知数

###  Dirichlet境界

値が既知より未知数にする必要なし
$u _ {i,0} = a _ i$

###  Neumann境界

境界にも未知数を置く

##  微分を差分に置き換える

$$u (x _ {i+1},y _ j) = u (x _ i,y _ j) + \delta x \frac{\partial u (x _ i,y _
j)}{\partial x} + \frac{\delta x^2}{2} \frac{\partial ^2 u (x _ i,y _
j)}{\partial x^2} + \frac{\delta x^3}{6} \frac{\partial ^3 u (x _ i,y _
j)}{\partial x^3}$$

$$u (x _ {i-1},y _ j) = u (x _ i,y _ j) - \delta x \frac{\partial u (x _ i,y _
j)}{\partial x} + \frac{\delta x^2}{2} \frac{\partial ^2 u (x _ i,y _
j)}{\partial x^2} - \frac{\delta x^3}{6} \frac{\partial ^3 u (x _ i,y _
j)}{\partial x^3}$$

##  方程式と境界条件を差分近似で置換する

$$ - (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}) =
f $$
$$ - \frac{u _ {i+1,j}-2u _ {i,j}+u{i-1,j}}{\delta x^2} - \frac{u _ {i,j+1}-2u
_ {i,j}+u{i,j-1}}{\delta y^2} = f $$