jelek final

>> % Az első lépés az ismeretlenek bevitele
>> % 12 ismeretlen lesz, ezek a következők:
>> % Ezek a következők:
>> % ic uc ucd (ucd = uc')
>> % il ul ild (ild = il')
>> % i1, i2, u2
>> % u fi is
>> % R L C (ezek valójában ismertlek, de először parametrikusan számolunk, ezért nem kapnak értéket)
>> % 12 ismeretlen van, de 3 egyenlet szükséges a megoldáshoz, ezért 9 egyenletet kell felírni
>> % Vigyük be az imseretleneket:
>> syms ucd ild u uc il is f i1 i2 n u2 ic ul R C L
>> % n értékét adjuk meg
>> n = 8;

>> % A második lépés az egyenletek beírása
>> % 9 egyenlet szükséges összesen. Ez a következő képpen áll össze:
>> % 2 a transzformátor karakterisztikája
>> % 2 a két dinamikus komponens karakterisztikája
>> % 5 csomóponti egyenlet. Ez pont megfelelő, hszen 6 csomópont van, így 6-1 független egyenlet írható fel
>> % Vigyük be az egyenleteket:
>> eq1 = (f+u+uc)*n == u2;
>> eq2 = i1 == -n*i2;
>> eq3 = ic == C*ucd;
>> eq4 = ul == L*ild;
>> eq5 = -is + (f+u+uc)/(2*R) + i1 + uc/R + uc/R + ic == 0;
>> eq6 = is - (f+u+uc)/(2*R) - i1 - f/R == 0;
>> eq7 = ((f+u)-(f+u2))/R - uc/R - uc/R - ic + u/(2*R) + ((f+u)-(f+L*ild))/R == 0;
>> eq8 = f/R -i2 -u/(2*R) -il == 0;
>> eq9 = i2 - ((f+u)-(f+u2))/R == 0;

>> % A következő lépés az egyenletrendszer megoldása
>> % Ehhez az equationsToMatrix() parancsot használjuk
>> % Ez a parancs lineáris egyenletrendszereket mátrix formába konvertál át
>> % Az első argumentumba beírjuk az egyenleteket, a másodikba pedig azokat a változokat, amelyeket ki akarunk fejezni
>> % Itt az első három helyre ucd-t, ild-t és az u választ írjuk, így a mátrix első 3 sora lesz az ÁVLNA
>> % Amásodik argumentumba írt változók a kimaradt változókból lesznek kifejezve, vagyis uc-ből, il-ből és is-ből. (Emellet R,L,C-ből.)
>> % Alakítsuk ki a mátrixos alakot:
>> [M,N] = equationsToMatrix([eq1,eq2,eq3, eq4, eq5, eq6, eq7, eq8, eq9],[ucd ild u ic ul i1 i2 u2 f])

M =

[  0,    0,        8,  0, 0,  0,  0,   -1,        8]
[  0,    0,        0,  0, 0,  1,  8,    0,        0]
[ -C,    0,        0,  1, 0,  0,  0,    0,        0]
[  0,   -L,        0,  0, 1,  0,  0,    0,        0]
[  0,    0,  1/(2*R),  1, 0,  1,  0,    0,  1/(2*R)]
[  0,    0, -1/(2*R),  0, 0, -1,  0,    0, -3/(2*R)]
[  0, -L/R,  5/(2*R), -1, 0,  0,  0, -1/R,        0]
[  0,    0, -1/(2*R),  0, 0,  0, -1,    0,      1/R]
[  0,    0,     -1/R,  0, 0,  0,  1,  1/R,        0]


N =

             -8*uc
                 0
                 0
                 0
 is - (5*uc)/(2*R)
     uc/(2*R) - is
          (2*uc)/R
                il
                 0

>> % Ezután meg kell oldalnunk az egyenletrendszert
>> % Ehhez a linsolve() parancsot használjuk
>> % Ez MX = N mátrixos alakban megadott egyenletrendszer megoldására képes
>> % Így az egyenletrendszer megoldása:
>> X = linsolve(M,N)

X =

      -(793*uc - 226*R*il + 26*R*is)/(331*C*R)
        -(226*uc + 593*R*il - 36*R*is)/(331*L)
 (36*R*is)/331 - (262*R*il)/331 - (226*uc)/331
        -(793*uc - 226*R*il + 26*R*is)/(331*R)
 (36*R*is)/331 - (593*R*il)/331 - (226*uc)/331
       (16*(9*uc - 13*R*il + 22*R*is))/(331*R)
       -(2*(9*uc - 13*R*il + 22*R*is))/(331*R)
 (80*R*is)/331 - (288*R*il)/331 - (208*uc)/331
 (226*R*il)/331 - (131*uc)/331 - (26*R*is)/331

>> % A kapott egyenletek első sora uc', a második ild, a harmadik pedig az u válasz
>> % Vagyis szebben leírva:
>> % uc' = - (793*uc)/(331*C*R) + (226*il)/(331*C) - (26*is)/(331*C)
>> % il' = - (226*uc)/(331*L) - (593*R*il)/(331*L) + (36*R*is)/(331*L)
>> % u   = - (226*uc)/331 - (262*R*il)/331 + (36*R*is)/331
>> % A parametrikus számolás helyett beírhatjuk R, L, C értékét a további számításokhoz
>> % Ezek koherens egységrendszerben:
>> % R = 5 [Mohm]
>> % L = 1 [Henry]
>> % C = 8 [pFarad]
>> % Fontos rögzíteni az így kapott eredmények mértékegységeit is:
>> % u -> [KV]
>> % i -> [mA]
>> % Adjuk meg az értékeket:
>> R = 5;
>> L = 1;
>> C = 8;

>> % Az egyenletek frissítéséhez újra be kell vinnünk azokat:
>> eq1 = (f+u+uc)*n == u2;
>> eq2 = i1 == -n*i2;
>> eq3 = ic == C*ucd;
>> eq4 = ul == L*ild;
>> eq5 = -is + (f+u+uc)/(2*R) + i1 + uc/R + uc/R + ic == 0;
>> eq6 = is - (f+u+uc)/(2*R) - i1 - f/R == 0;
>> eq7 = ((f+u)-(f+u2))/R - uc/R - uc/R - ic + u/(2*R) + ((f+u)-(f+L*ild))/R == 0;
>> eq8 = f/R -i2 -u/(2*R) -il == 0;
>> eq9 = i2 - ((f+u)-(f+u2))/R == 0;

>> % Úgy ahogy az előbb, oldjuk meg újra az egyenletrendszert:
>> [M,N] = equationsToMatrix([eq1,eq2,eq3, eq4, eq5, eq6, eq7, eq8, eq9],[ucd ild u ic ul i1 i2 u2 f]);
>> X = linsolve(M,N)

X =

 (113*il)/1324 - (13*is)/1324 - (793*uc)/13240
   (180*is)/331 - (2965*il)/331 - (226*uc)/331
   (180*is)/331 - (1310*il)/331 - (226*uc)/331
    (226*il)/331 - (26*is)/331 - (793*uc)/1655
   (180*is)/331 - (2965*il)/331 - (226*uc)/331
   (352*is)/331 - (208*il)/331 + (144*uc)/1655
      (26*il)/331 - (44*is)/331 - (18*uc)/1655
   (400*is)/331 - (1440*il)/331 - (208*uc)/331
   (1130*il)/331 - (130*is)/331 - (131*uc)/331

>> % Szebben leírva:
>> % uc' = - (793*uc)/13240 + (113*il)/1324 - (13*is)/1324
>> % il' = - (226*uc)/331 - (2965*il)/331 + (180*is)/331
>> % u = - (226*uc)/331 - (1310*il)/331 + (180*is)/331

>> % A következő lépésben határozzuk meg az A, B, C és D mátrixokat
>> % Az előbb kapott egyenletekből ezek leolvashatók
>> A = [-793/13240 113/1324; -226/331 -2965/331]

A =

   -0.0599    0.0853
   -0.6828   -8.9577

>> B = [-13/1324; 180/331]

B =

   -0.0098
    0.5438

>> CT = [-226/331 -1310/331]

CT =

   -0.6828   -3.9577

>> D = 180/331

D =

    0.5438

>> % Következzen a rendszermátrix sajátértékeinek meghatározása
>> % Ehhez az az eig() parancsot fogjuk használni
>> % Ez az argumentumában egy mátrixot vár és két diagonális mátrixot ad vissza: az egyikben a sajátértékek, a másikban a sajátvektorok találhatók
>> [E, la] = eig(A)

E =

    0.9971   -0.0096
   -0.0766    1.0000


la =

   -0.0664         0
         0   -8.9511

>> %Mivel a rendszermátrix minden sajátértékének valós része negatív, ezért a rendszer aszimpotikusan stabilis
>> %Következzen az ugrásválasz meghatározása
>> %Ez három lépésből áll:
>> % 1. A szabadösszetevő meghatározása
>> % 2. A gerjesztett összetevő meghatározása
>> % 3. A kezdeti feltételek érvényesítése
>> % 1.
>> % A gerjesztett összetevőt konstans alakjában keressük, hiszen a gerjesztés konstansnak tekinthető
>> % Konstans deriváltja nulla, ez áll az egyenlet bal oldalán
>> % Mivel impulzusválasznál a gerjesztés 1, ezért a felírandó egyenlet:
>> % 0 = A*Xg + B*1
>> % Vagyis matlabban:
>> Xg = inv(A) * (-B)

Xg =

   -0.0698
    0.0660

>> % A kezdeti feltételek érvényesítése a következő lépés
>> % Tudjuk, hogy x(+0) = x(-0) = 0 = K1*m1 + K2*m2 + Xg
>> % Ez mátrixokkal felírva: 0 = E*K + Xp
>> % Vagyis matlabban:
>> K = inv(E) * (-Xg)

K =

    0.0695
   -0.0607

>> % Ez után következhet az ugrásválasz felírása
>> % A képlet a következő:
>> % gt = CT*x(t) + D*u(t) = CT*(xf(t)+xg(t)) + D*epszilon(t)
>> % Ha ezt felbontjuk:
>> % epszilon(t)*(K1*CT*m1*e^(lambda1*t)+ K2*CT*m2*e^(lambda2*t) + CT*Xg + D)
>> % Ezt konstansokkal is kifejezhetjük:
>> % epszilon(t)*(N1*e^(lambda1*t)+ N2*e^(lambda2*t) + N3)
>> % Ez matlabban:
>> N1 = K(1)*CT*E(:,1)

N1 =

   -0.0262

>> N2 = K(2)*CT*E(:,2)

N2 =

    0.2399

>> N3 = CT*Xg + D

N3 =

    0.3302

>> % Következhet a függvény felírása és az ábrázolás
>> % Ehhez a linspace parancsot fogjuk használni
>> % Ez a megadott intervallumot felosztja 1000 részre és az így kapott értékeket sorvektorként adja vissza
>> % A 0-50usec időtartományt fogjuk vizsgálni, itt lezaljlanak a legfőbb változások
>> t = linspace(0, 50, 1000);

>> % Írjuk fel az átmeneti fügvényt az előbb meghatározott konstansok segítségével
>> gt = N1*exp(la(1,1)*t) + N2*exp(la(2,2)*t) + N3;

>> % Ábrázoljuk a függvényt
>> figure
>> plot(t,gt)
>> xlabel("t[us]")
>> ylabel("g(t)")
>> title("Ugrásválasz")

>> % Ellenőrizhetjük a megoldásunkat úgy, hogy a matlab beépített rendszerét használjuk erre a problémára
>> % Létrehoztatunk állapotváltozós leírást az ss() parancs segítségével. Ennek bemenő paraméterei a rendszer mátrixai
>> sys = ss(A, B, CT, D)

sys =

  A =
             x1        x2
   x1  -0.05989   0.08535
   x2   -0.6828    -8.958

  B =
              u1
   x1  -0.009819
   x2     0.5438

  C =
            x1       x2
   y1  -0.6828   -3.958

  D =
           u1
   y1  0.5438

Continuous-time state-space model.

>> % A matlab beépített parancsát használhatjuk ugrásválasz meghatározásához
>> figure
>> step(sys, 50)

>> % Láthatjuk, hogy ugyan azt a választ kapjuk, mint saját számolásokkal, így biztos, hogy jól dolgoztunk

>> % Ez után következhet az impulzusválasz felírása
>> % Ezt a legegyszerűbb felírni az ugrásválaszt általános deriváltjaként
>> % A deriválás után alakja a következő:
>> ft = la(1,1)*N1*exp(la(1,1)*t) + la(2,2)*N2*exp(la(2,2)*t);

>> % A változások megközelítőleg 1 us alatt lezajlanag, ezért
>> t = linspace(0, 1, 1000);

>> % A megváltozott linspace miatt újra be kell vinni a plothoz
>> ft = la(1,1)*N1*exp(la(1,1)*t) + la(2,2)*N2*exp(la(2,2)*t);

>> % Ábrázoljuk a függvényt
>> figure
>> plot(t,ft)
>> xlabel("t[us]")
>> ylabel("f(t)")
>> title("Impulzusválasz")

>> % A matlab beépített parancsát használhatjuk impulzusválasz meghatározásához
>> figure
>> impulse(sys, 50)

>> % Láthatjuk, hogy ugyan azt a választ kapjuk, mint saját számolásokkal, így biztos, hogy jól dolgoztunk