Un Problema De Areas

\documentclass{article}[pstricks,border=8pt,12pt]
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\title{\textcolor{magenta}{\textbf{Pero Es Un Problema De Geometria Plana}}}
\author{Nimrod Rodríguez\\
\href{SITIO WEB}{\underline{\textcolor{red}{enlace:}
Código \LaTeX }}}
\date{\today}
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\begin{document}
\pagecolor{orange!30}
% Definición local de colores
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\renewcommand{\l}{\lambda}
%\begin{landscape}
%\tikz \draw (3,10)  node[scale=0.5,rotate=15,circle,fill=yellow!40,text width=3cm]{};
\maketitle

\begin{figure}[ht!]
\centering
\caption{Problema}
\includegraphics[scale=0.1]{problemaNLP.png}
\end{figure}

\tdplotsetmaincoords{70}{110}
\pgfmathsetmacro{\res}{(3-2*sqrt(2))/4}
\begin{figure}[ht!]
\centering
\caption{Disposición del terreno}
\begin{tikzpicture}[scale=1,tdplot_main_coords, information text/.style={rounded corners, fill=orange!20,inner sep=2ex}]

\draw  (5,-0.5,0)node[blue, below]{$y$};
\draw  (-1.5,6,0)node[blue, right]{$x$};
\draw  (3.5,6,0)node[blue, right]{$a-x$};
\draw  (5,5,0)node[blue, below]{$b-y$};

\draw [fill=gray](-5,-5,0) -- (5,-5,0) -- (5,6,0) -- (-5,6,0) --cycle;
\draw [fill=green] (5,4,0) -- (5,6,0) -- (2,6,0) --cycle;
\draw [fill=orange!30] (-5,-5,0) -- (5,4,0) -- (2,6,0) --cycle;
\draw [fill=white](4.5,-5,0) -- (4.5,-4.5,0)--(5,-4.5,0)--(5,-5,0)--cycle;
\draw [fill=white](-5,6,0) -- (-5,5.5,0)--(-4.5,5.5,0)--(-4.5,6,0)--cycle;

%nodos
\draw  (-5,0,0)node[blue, above]{$b$};
\draw  (0,-5,0)node[blue, left]{$a$};
\draw  (1.5,1,0)node[blue, right]{$A_1 = \frac{1}{4}ab$};
\draw  (2,-2,0)node[white]{$A_2$};
\draw  (-3,1,0)node[white]{$A_3$};
\draw  (4,5.5,0)node[black]{$A_P$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}

La figura muestra la disposición del terreno rectangular repartido por Pedro. De acuerdo a la condición de que $A_1 = \frac{1}{4}ab$, se tendría de la figura que;
\begin{align*}
A_P + A_2 + A_3 & = \frac{3}{4}ab\\
\frac{1}{2}(a-x)(b-y) + \frac{1}{2}ay + \frac{1}{2}bx &= \frac{3}{4}ab\\
ab + xy &= \frac{3}{2}ab\\
xy &= \frac{1}{2}ab\\
\end{align*}
Esta relación, que puede escribirse como $y = \frac{ab}{2x}$ corresponde a una curva simetrica en el plano $\mathbb{R}^2$, y es en la cual se confinan los valores posibles de $x$ e $y$, con los cuales Pedro puede hacer tal repartición, es de tipo hipérbole y solo interesa su seccion positiva, pues su dominio seria $\{x: 0<x<a\}$
Lo cual indica que para valores dados de $a$ y $b$, se tiene un considerable número de posibilidades para $x$ e $y$. Sobre estos valores es que habrá que buscar aquel, o aquellos, para los cuales el valor del área $f(x,y)= \frac{1}{2}(a-x)(b-y)$, de terreno que corresponde a Pedro, es la máxima.\\
 De modo que el problema ahora consiste en elegir un método para encontrar la posible solución. Uno inicial y tentativo es el ensayo. La forma más simple, es elegir una de las dos variables como parámetro independiente, para despejar la otra en función de esta, en este caso es indistinto, pero elegimos $x$ y despejamos $y$. Así tendremos $y = \frac{ab}{2x}$, con esto, sabiendo que $0<y<b$ obtendriamos que $x>\frac{a}{2}$, de modo que $(\frac{a}{2},a)$ puede utilizarse como como referencia para ensayar con algunos valores de $x$, evaluando la función para el área de terreno de Pedro.  A continuación unos ensayos para $a=5$ y $b=6$. En este caso como $\frac{a}{2}=2.5$ evaluando con \LaTeX \ el conjunto de valores $3.40,3.45,...,3.80$ se obtiene lo siguiente:

\pgfmathsetmacro{\m}{5}
\pgfmathsetmacro{\n}{6}
\foreach \r in {3.40,3.45,...,3.80}
{
\pgfmathsetmacro{\s}{\m*\n/(2*\r)}
\pgfmathsetmacro{\t}{0.5*(5-\r)*(6-\s)}
\begin{center}
$x = \r$ \qquad $y = \s$ \qquad $A_P = \t$ \\
\end{center}
}
Acá puede notarse que $A_p$ comienza creciendo y luego termina decreciendo, esto hace pensar que luego de crecer alcanza, por lo menos, un extremo relativo como máximo, para luego ir decreciendo. Asi podría irse eligiendo interpolaciones para aproximar una solución. Lo que hace notoria la dificultad para resolver por aritmetica, es que tanto la condición principal del problema, como la función a optimizar, son funciones cuadráticas, pues vienen de una relación de áreas.\\

Un metodo del cálculo más directo, y también conocido en  programación no lineal, es el de optimización lagrangeana:
\begin{center}
Maximizar: $f(x,y) = \frac{1}{2}(a-x)(b-y)$\\
Sujeto a:\ $g(x,y)=xy - \frac{1}{2}ab = 0,$\\
 $0<x<a;\ 0<y<b$
\end{center}
Asi, habria que hechar mano del calculo diferencial y resolver por los valores extremos de la función lagrangeana: $L(x,y,\l)=\nabla f(x,y) +\l\nabla g(x,y),$\footnote
{En donde se recuerda que $\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}$}
mediante el sistema de ecuaciones
$$L_x=\frac{\partial L}{\partial x}=0;\ L_y=\frac{\partial L}{\partial y}=0;\ L_\l=\frac{\partial L}{\partial \l}=0$$
De las primeras dos, igualando los valores de $\l $ se obtiene que $ay=bx$, y combinando a esto la tercera (que resulta igualmente $g(x,y)=0$) se obtiene que $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ en tanto $y=\frac{b}{\sqrt{2}}$. De modo que $A_p = \frac{3-2\sqrt{2}}{4}ab=\res ab < 0.05 ab = \frac{1}{20} ab$. De modo que Pedro efectivamente se queda, en cualquier caso, con menos del veinteavo del terreno.


%Gráfico de superficies
\begin{figure}[ht!]
\centering
\caption{Intersección con $a=5$ y $b=6$ mediante $\frac{max(0,f=g) + min(f=g, \frac{ab}{2})}{2}$}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2] \begin{axis}[legend style={rounded corners,fill=brown!40},legend pos=outer north east, view={45}{35}]
\pgfmathsetmacro{\u}{5/sqrt(2)}
\pgfmathsetmacro{\v}{6/sqrt(2)}
\pgfmathsetmacro{\z}{0.5*(5-\u)*(6-\v)}
\addplot3[color=green, domain=0:5,samples=70] {0.5*x*y-3*x-2.5*y+15};
\addplot3[color=brown,domain=0:6,samples=60] {x*y-15};
\addplot3[color=red, domain=3:5,samples=10,mesh,very thick] ({x},{15/x},{(max(22.5-3*x-37.5/x,0)+min(22.5-3*x-37.5/x,15))/2});
\addplot3 [color=blue,mark=*] coordinates {(\u,\v,\z)};
\addlegendentry{$\frac{1}{2}(a-x)(b-y),$\ \ \tiny{$0<x<a;\ 0<y<b$}};
\addlegendentry{$xy-\frac{1}{2}ab,$\ \ \tiny{$0<x<a;\ 0<y<b$}};

\draw [verde,fill](6,6,21)circle(1.5pt);
\draw (6,6,21) node[verde,left]{\tiny{21}};

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
%\end{landscape}
\end{document}