Métodos Práctica 8

Ejercicio 1:
Apartado a)
function integral = metodoTrapecio(funcion, a, b)
    integral = (b-a)*(funcion(a) + funcion(b))/2
endfunction

function integral = metodoSimpson(funcion, a, b)
    h = (b-a)/2
    integral = h * (funcion(a) + 4 * funcion(a+h) + funcion(b))/3
endfunction


--> metodoTrapecio(log, 1, 2)
 ans  =
   0.3465736
--> metodoSimpson(log, 1, 2)
 ans  =
   0.3858346
--> intg(1,2,log)
 ans  =
   0.3862944


--> metodoTrapecio(raisCubica, 0, 0.1)
 ans  =
   0.0232079
--> metodoSimpson(raisCubica, 0, 0.1)
 ans  =
   0.0322962
--> intg(0, 0.1, raisCubica)
 ans  =
   0.0348119


--> metodoTrapecio(senoCuad, 0, %pi/3)
 ans  =
   0.3926991
--> metodoSimpson(senoCuad, 0, %pi/3)
 ans  =
   0.3054326
--> intg(0, %pi/3, senoCuad)
 ans  =
   0.3070924

Apartado iii:
Trapecio:
a)  Esta acotada, pues la derivada segunda es -1/x**2 que tiene un maximo en el intervalo [1,2] en el punto 1 y vale 1 (en valor absoluto).
b)  No esta acotada, pues la derivada segunda es -2/(9x**(5/3)) lo cual crece infinitamente (en valor absoluto) al acercarnos a 0 desde 0.1.
c)  Esta acotada, pues la derivada segunda es cos(2x)*x que esta re acotado.

Simpson:
Ídem.


Ejercicio 2 y 3:

function integral = metodoTrapecioCompuesto(funcion, a, b, n)
    h = (b-a)/n
    integral  = 0
    for i = 1:(n-1)
        integral = integral + funcion(a + i*h)
    end
    integral = integral + 0.5*funcion(a) + 0.5*funcion(b)
    integral = integral *h
endfunction

function integral = metodoSimpsonCompuesto(funcion, a, b, n)
    h = (b-a)/n
    integral  = 0
    for i = 1:2:(n-1)
        integral = integral + 4*funcion(a + i*h)/3
    end
    for i = 2:2:(n-2)
        integral = integral + 2*funcion(a + i*h)/3
    end
    integral = integral + funcion(a)/3 + funcion(b)/3
    integral = integral *h
endfunction


--> deff("y=cosoB(x)", "y=x*(1+x**2)**0.5")
--> metodoTrapecioCompuesto(cosoB, 0, 3, 6)
 ans  =
   10.312201
--> metodoSimpsonCompuesto(cosoB, 0, 3, 6)
 ans  =
   10.206346
--> intg(0, 3, cosoB)
 ans  =
   10.207592


Ejercicio 4:
a)--> metodoTrapecioCompuesto(funcion4, 0, 1.5, 10)
 ans  =
   0.9178617
b)
--> metodoSimpsonCompuesto(funcion4, 0, 1.5, 10)
 ans  =
   0.9163064
c)SIMPSON GET FUCKING REKT
  USING ELABORATE METHODS IN 2017 LUL


Ejercicio 5:

function integral = metodoTrapecioDobleAux(funcion, a, b, x)
    integral = (b-a)*(funcion(x, a) + funcion(x, b))/2
endfunction


function integralDoble = metodoTrapecioDoble(funcion, y0, y1, x0, x1)
    integralDoble = (x1-x0) * (metodoTrapecioDobleAux(funcion, y0, y1, x0) + metodoTrapecioDobleAux(funcion, y0, y1, x1) ) /2
endfunction


function integralDoble = metodoCompuestoTrapecioDobleAux(funcion, y0, y1, x, n)
    deltaY = (y1-y0)/n
    integralDoble  = 0
    for i = 1:(n-1)
        integralDoble = integralDoble + funcion(x, y0 + i*deltaY)
    end
    integralDoble = integralDoble + 0.5*funcion(x, y0) + 0.5*funcion(x, y1)
    integralDoble = integralDoble * deltaY
endfunction


function integralDoble = metodoCompuestoTrapecioDoble(funcion, y0, y1, x0, x1, n)
    deltaX = (x1-x0)/n
    integralDoble  = 0
    for i = 1:(n-1)
        integralDoble = integralDoble + metodoCompuestoTrapecioDobleAux(funcion, y0, y1, x0 + i*deltaX, n)
    end
    integralDoble = integralDoble + 0.5 * metodoCompuestoTrapecioDobleAux(funcion, y0, y1, x0, n) + 0.5 * metodoCompuestoTrapecioDobleAux(funcion, y0, y1, x1, n)
    integralDoble = integralDoble * deltaX
endfunction



--> deff("z = funcion1(x,y)", "z = sin(x+y)")
--> metodoTrapecioDoble(funcion1, 0, 2, 0, 1)
 ans  =
   0.9459442
--> metodoCompuestoTrapecioDoble(funcion1, 0, 2, 0, 1, 23)
 ans  =
   1.6083806



Ejercicio 6:
x**2 + y**2 <= 2x  ==>  (x**2 - 2x + 1) + y**2 <= 1  ==>  (x-1)**2 + y**2 <= 1
Entonces, la integral es en un círculo de radio 1 centrado en el (1,0).
y = +-sqrt((x-1)**2 - 1)
Esas son las funciones que usar para los extremos de integración en y, mientras que en x es entre 0 y 2.