Давайте назовем шагом угадывание одной кнопки. То есть, нахождение первой кнопки это первый шаг, нахождение второй кнопки -- второй шаг, и так далее. В худшем случае Манао будет не везти на каждом шаге, то есть каждый раз пытаясь найти кнопку, он будет находить ее самой последней из оставшихся вариантов. В таком случае, на первом шаге он всегда сделает n нажатий (переберет все кнопки).

На втором шаге у него останется n - 1 кнопка, он сделает одно нажатие в неправильную вторую кнопку, у него все кнопки сбросятся, и на всех последующих n - 2 кнопках ему придется набирать первую кнопку заново. То есть, он сделает 1 + 2 * (n - 2) нажатий.

На третьем шаге, аналогично, у него останутся n - 2 кнопки, он сделает одно нажатие в какую-то неудачную кнопку, тем самым ее проверив, и для оставшихся n - 3 кнопок он будет набирать все заново, потратив 3 нажатия на одну проверку. То есть на третьем шаге он сделает 1 + 3 * (n - 3) нажатий.

И так далее, можем вывести, что на k-том шаге он сделает 1 + k * (n - k) нажатий. Шагов у нас всего будет n (так как кнопок нужно угадать n), пробежимся по всем шагам и суммируем нажатия.

Пример кода на python:
n = int(input())
answ = n
for k in range(2, n + 1):
    answ += 1 + k * (n - k)
print(answ)