URI CSC 340 F22 HW1 Q6

Base case:
1³ = 1/4 (1² (1 + 1)²)
⇔ 1 = 1
⇔ true

Inductive hypothesis:
1³ + 2³ + ... + n³ = 1/4 (n² (n + 1)²) ⇒ 1³ + 2³ + ... + n³ + (n + 1)³ = 1/4 ((n + 1)² (n + 2)²)
⇔ 1³ + 2³ + ... + n³ = 1/4 (n² (n + 1)²) ⇒ 1/4 (n² (n + 1)²) + (n + 1)³ = 1/4 ((n + 1)² (n + 2)²)
⇔ (n² (n + 1)²) + 4(n + 1)³ = ((n + 1)² (n + 2)²)
⇔ n⁴ + 6n³ + 13n² + 12n + 4 = n⁴ + 6n³ + 13n² + 12n + 4
⇔ 0 = 0
⇔ true

∴ 1³ + 2³ + ... + n³ = 1/4 (n² (n + 1)²) ∀n ≥ 1