Taller 3 Modelos

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title: "Taller 3_Modelos I"
author: "Jorge Moreno, Aarón Calderón"
output: pdf_document
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# Ejercicio 2: Dataset: FEV

La dataset FEV incluye observaciones de 654 niños a los que se les mide el Volumen Espiratorio Forzado (FEV: forced expiratory volume). En este ejercicio estamos interesados en modelar la relación de FEV y las siguientes variables.

**age**: la edad del niño en años

**height**: la altura del niño en pulgadas

Importamos el set de datos:

```{r}
#fev= read.csv("C:/Users/USUARIO/Downloads/fev.txt", sep="")
fev <- read.csv("D:/Descargas/Modelos I/fev.txt", sep="")

FEV_subset=fev[,1:3]

head(FEV_subset)

attach(FEV_subset)
```


### Pregunta 1. Realice una exploración gráfica de la relación entre FEV y la edad y la altura del niño. ¿Se ajustaría un modelo aditivo de primer orden o algún orden superior?

```{r}

plot(FEV_subset)

pairs(FEV_subset)
```

La relación entre FEV y edad y FEV y la altura tiene una cierta curvatura. Por lo tanto, se ajustaría mejor con un modelo de orden superior.

### Pregunta 2. Ajuste el siguiente modelo aditivo de primer orden, analice los residuos del modelo y detecte la curvatura y heterocedasticidad en los residuos:

$$
FEV_i = \beta_0 + \beta_1 age_i + \beta_2 height_i + \epsilon_i
$$

```{r}
#modelo aditivo de primer orden
modelo1=lm(FEV ~ age + height, data=FEV_subset)
summary(modelo1)


par(mfrow = c(2, 2))
plot(modelo1)

```

Vemos que hay simetría, pero con colas pesadas, lo que sugiere que no se cumple el supuesto de normalidad para los residuos. A su vez, se ve que la varianza no es constante, por lo que no se cumple el supuesto de homocedasticidad.


### Pregunta 3. Ajuste el siguiente modelo aditivo de segundo orden, analice los residuos del modelo:

$$
 FEV_i = \beta_0 + \beta_1 age_i + \beta_2 height_i + \beta_3 age^2_i + \beta_4 height^2_i + \epsilon_i
$$

```{r}
#modelo aditivo de segundo orden
modelo2=lm(FEV ~ age + height+I((age-mean(age))^2)+I((height-mean(height))^2), data=FEV_subset)
summary(modelo2)


par(mfrow = c(2, 2))
plot(modelo2)
```

Sigue habiendo simetría y con colas pesadas, por lo que no se estaría cumpliendo el supuesto de normalidad. Los residuos quedaron más lineales, pero no se cumple el supuesto de homocedasticidad.

### Pregunta 4. Realice una prueba de hipótesis para los efectos cuadráticos de age y height mejoran el ajuste del modelo. Escriba el contraste de hipótesis, el estadístico de prueba, el valor p de la prueba y su conclusión.

$$
 H_0: \beta_3=\beta_4=0
\quad  \quad  \quad \quad  \quad  \quad \quad  \quad  \quad  H_1:
 \beta_3 \neq 0  \vee \beta_4 \neq 0
$$


```{r}
#modelo completo

n=length(FEV)
p=5


SCEp=sum((modelo2$residuals)^2)

MCEp=SCEp/(n-p)

#modelo reducido

SCEpq=sum((modelo1$residuals)^2)

#Estadístico F
q=2

F0=((SCEpq-SCEp)/q)/MCEp
F0

#Valor p

valorp=pf(F0, q, n-p, lower.tail=F)
valorp

anova(modelo1, modelo2)
```
Si utilizamos un nivel de significancia del 5%, entonces existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis que dicta que $\beta_{3}$ y $\beta_{4}$ son iguales a 0.


### Pregunta 5. Compare el modelo 1 y 2 en base al coeficiente de determinación ajustado. ¿Qué modelo prefiere?

```{r}

sum1=summary(modelo1)
sum2=summary(modelo2)

c(sum1$r.squared, sum2$r.squared)
c(sum1$adj.r.squared, sum2$adj.r.squared)
```
El modelo que incluye los términos cuadráticos (modelo2) tiene un coeficiente de determinación ajustado superior al del reducido (modelo1). Por tal motivo, se prefiere al modelo 2.

### Pregunta 6. Estimemos el modelo 2 usando los mínimos cuadrados ponderados. Analice los residuos $r^{(w)}$

```{r}

re2= modelo2$residuals
fv2= modelo2$fitted.values

modelo3 = lm(abs(re2) ~ fv2)


re3= modelo3$residuals
fv3= modelo3$fitted.values
w = 1/(fv3^2)

modelo4= lm(FEV ~ age + height+I((age-mean(age))^2)+I((height-mean(height))^2),
            data = FEV_subset, weights = w)
par(mfrow = c(2, 2))
plot(modelo4)

```

```{r}
rw = sqrt(w) * modelo4$residuals
par(mfrow = c(1, 2))
plot(modelo4$fitted.values, rw,xlab="Valores ajustados",ylab="Residuos ponderados")
abline(2.5,0)
abline(-2.5,0)

plot(age,rw,xlab="Edad",ylab="Residuos ponderados")
```

Vemos que no hay ningún patrón presente entre los residuos ponderados y los valores ajustados. Lo que sí hay es un gran número de valores aberrantes.

### Pregunta 7. Utilice las funciones plot3d() y persp3d() de la librería "rgl" para graficar la superficie de respuesta del último modelo.

```{r}
library(rgl)
plot3d(modelo4)
#persp3d(modelo4)
```


### Pregunta 8. ¿Cuánto sería el FEV de un niño de 5 años y 53 pulgadas? Proporcione un intervalo de predicción e interprételo.

```{r}
predict(object=modelo2,newdata=data.frame(height=53,age=5),interval=c("prediction"),level=0.95,df=n-5)

```