Formato Taller 1 Multivariane

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title: "R Notebook"
output: html_notebook
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# Problemas de práctica para PCA con respuestas parciales

1.  El propósito de este problema es examinar el efecto que tienen diferentes correlaciones en el resultado del `PDA`. Para hacerlo más fácil, suponga que `X` tiene una distribucion normal bivariante con $\mu=(0,0)',\sigma_{11}=1$ y $\sigma_{22}=1$. Para $\sigma_{12}=-0.99,-0.9,-0.5,0,0.5,0.9,0.99$ (recuerde que $\sigma_{12}=\rho_{21}$ porque las varianzas son iguales a 1), complete lo siguiente:

a.  Simule `1000` observaciones de la normal bivariante donde se establece un número de semilla de `8128` justo antes de cada simulación de datos.

Examine parte de este problema empleando solo $\rho_{12}=0.99$

```{r}
suppressWarnings(library(mvtnorm))

#Parámetros para una distribución normal bivariante
mu=c(0,0)
rho12=0.99
sigma=matrix(data=c(1,rho12,rho12,1),nrow=2,byrow=TRUE) #Matriz de covarianzas
(P= cov2cor(V=sigma))
N=1000
set.seed(8128)
X=rmvnorm(N,mu,sigma)
head(X)
```

b.  Utilice `princomp()` con `cor=TRUE` para encontrar los valores propios y vectores propios estimados a partir de la matriz de correlación.

```{r}
pca.save=princomp(x=X,cor=TRUE,scores=FALSE)
summary(pca.save,loadings=TRUE,cutoff=0.0)
```
c.  Interprete las componentes principales.

d.  ¿Cuántas PC son necesarias?

Solo una: ¡asegúrese de comprender por qué esto tendría sentido en el contexto de PCA!

e.  Cree diagramas de dispresión separados de los datos y las puntuaciones de PC, pero utilice un conjunto de límites generales para los ejes X y Y. Describe la relación entre estos gráficos para cada $\rho_{12}$.

```{r}
pca.save$scale=apply(X=X,MARGIN=2,FUN=sd)
score.save=predict(pca.save,newdata=X)
head(score.save)
#dev.new(width=12)
par(mfrow=c(1,2)) #una fila dos columnas
par(pty="s")
common.limits=c(min(score.save,X),max(score.save,X))
plot(x=X[,1],y=X[,2],xlab=expression(x[1]),ylab=expression(x[2]),main="Datos Originales",xlim=common.limits,ylim=common.limits,panel.first=grid(col="lightgreen"))
abline(h=0)
abline(v=0)

plot(x=score.save[,1],y=score.save[,2],xlab="PC #1",ylab="PC #2",main="Componentes Principales",xlim=common.limits,ylim=common.limits,panel.first=grid(col="lightgreen"))
abline(h=0)
abline(v=0)
```


¡Parece que los ejes `X` y `Y` se han rotado para que toda la variabilidad de los datos esté representada en una sola dimensión!

f.  Relacione sus respuestas en `c-e` con el valor de $\rho_{12}$