z2.1.cpp

#include <iostream>
using namespace std;

// Функция для корректировки по модулю 5:
int mod5(int x)
{
    return (x % 5 + 5) % 5;
}

// Проверка: является ли val квадратом по модулю 5
bool isSquareMod5(int val)
{
    val = mod5(val);
    for (int r = 0; r < 5; r++)
    {
        if (mod5(r*r) == val) return true;
    }
    return false;
}

// Находим корень val = r^2 (по модулю 5). Если есть, вернём любой подходящий r, иначе -1.
int sqrtMod5(int val)
{
    val = mod5(val);
    for (int r = 0; r < 5; r++)
    {
        if (mod5(r*r) == val) return r;
    }
    return -1;
}

// Поиск корней квадратного уравнения
// a x^2 + b x + c = 0 (mod 5)
int main()
{
    int a, b, c;
    cout << "Введите коэффициенты a, b, c (по модулю 5): ";
    cin >> a >> b >> c;

    a = mod5(a);
    b = mod5(b);
    c = mod5(c);

    // Если a=0, это не квадратный многочлен
    if (a == 0)
    {
        // Тогда b x + c = 0 => x = -c/b, если b != 0
        if (b == 0)
        {
            if (c == 0) cout << "Все x - решение (тождественный 0)\n";
            else cout << "Нет решений (противоречие)\n";
        }
        else
        {
            // x = -c * (b^-1)
            // Найдём b^-1
            int inv_b = -1;
            for (int i = 1; i < 5; i++)
            {
                if ((b*i) % 5 == 1) { inv_b = i; break; }
            }
            int xSol = mod5(-c * inv_b);
            cout << "Линейный случай, корень x = " << xSol << " (mod 5)\n";
        }
        return 0;
    }

    // Иначе квадратный случай
    int D = mod5(b*b - 4*a*c);
    cout << "Дискриминант = " << D << " (mod 5)\n";

    if (!isSquareMod5(D))
    {
        cout << "Невозможно разложить (неприводимый многочлен)\n";
        return 0;
    }

    // Если дискриминант - квадрат, находим его корень
    // x1,2 = [ -b ± sqrt(D) ] / (2a)
    int sd = sqrtMod5(D);
    for (int sign = -1; sign <= 1; sign += 2)
    {
        int num = mod5(-b + sign*sd);
        // делим на 2a => умножаем на обратный элемент (2a)
        // обратный элемент для (2a) ищем перебором
        int twoA = mod5(2*a);
        int invTwoA = -1;
        for (int i = 1; i < 5; i++)
        {
            if ( (twoA*i) % 5 == 1 ) { invTwoA = i; break; }
        }
        int root = mod5(num * invTwoA);
        cout << "Корень: x = " << root << " (mod 5)\n";
    }

    // Факторизация:
    // Если x1 != x2, P(x) = a(x - x1)(x - x2)
    // Если x1 = x2, тогда (x - x1)^2
    // Вы можете самостоятельно вывести формулу, а тут просто напишем текст:
    cout << "Многочлен можно записать как a*(x - x1)*(x - x2) в F5.\n";

    return 0;
}