TRABALHO

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%%%%%%%%%%Definições Teoremas %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \newtheorem{teo}{Teorema}%[subsection]
 \newtheorem{cor}[teo]{Corolário}
 \newtheorem{lem}[teo]{Lema}
 \newtheorem{prop}[teo]{Proposição}
 \newtheorem{defn}[teo]{Definição}
 \newtheorem{nota}[teo]{Notação}
 \newtheorem{obs}[teo]{Observação}
 \numberwithin{equation}{subsection}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\title{O conjunto de Cantor}

\maketitle \abstract{Todo mundo conhece o famoso teorema de
Pitágoras (a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
hipotenusa, ou simplesmente $ a^2= b^2 + c^2$). O último teorema
de Fermat (veja \cite{CD}) diz que não existem a, b e c inteiros
que satisfaçam a equação $a^n = b^n + c^n$, para nenhum $n > 2$.
Neste trabalho falaremos sobre alguns dos novos campos da
matemática que nasceram com a demonstração feita Andrew Wiles em
1995 com a demonstração da validade de tal teorema.

\medskip

\noindent{\bf Palavras Chave:} Teorema de Fermat,Teorema de
Pitagoras

}

\section*{Introdução}

\section{Conceitos preliminares}
Segue abaixo alguns conceitos fundamentais para entendermos as propriedades do conjunto de Cantor.

\subsection{Conjuntos e Números Reais}

\begin{defn}Um conjunto X é dito enumerável se existe uma bijeção
\end{defn}

\begin{defn}
    Sejam $a,b \in \mathbb{R}$ com a<b. Então:
    \newline
    \newline
    $[a,b] := x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b$
    \newline
    $(a,b] :=  x \in \mathbb{R} : a < x \leq b$
    \newline
    $[a,b) :=  x \in \mathbb{R} : a \leq x < b$
    \newline
    $(a,b) :=  x \in \mathbb{R} : a < x < b$
    \newline
    $(-\infty,b] :=  x \in \mathbb{R} : x \leq b$
    \newline
    $(-\infty,b) :=  x \in \mathbb{R} : x < b$
    \newline
    $[a,+\infty) :=  x \in \mathbb{R} : x \geq a$
    \newline
    $(a,+\infty) :=  x \in \mathbb{R} : x > a$
    \newline
    [a,a] é denominado intervalo degenerado

\end{defn}

\begin{defn}
    Seja X um conjunto tal que X $\subset \mathbb{R}$. Dizemos que X é limitado superiormente (possui cota superior) quando existe b $\in \mathbb{R}$ tal que $x \leq X, \vee x \in X$. Analogamente, dizemos que X $\subset \mathbb{R}$ é limitado inferiormente quando existe a $\in \mathbb{R}$ tal que a $\leq x, \vee x \in \mathbb{R}$. O número b chama-se cota superior de X e o número a chama-se cota inferior de X. Se X é limitado superior e inferiormente, dizemos que X é limitado. Isto significa que existe k>0 tal que $[x] \leq k, \forall x \in X$.
\end{defn}


\begin{teo}
    (Intervalos Encaixados) Dada uma sequência decrescente:
    \newline
      IVJBJ
    \newline
    de intervalos não-vazios, limitados e fechados: , existe pelo menos um número c tal que
\end{teo}

\subsection{Noções topológicas em $\mathbb{R}$}

\begin{defn}
    Seja X $\subset \mathbb{R}$.  Um ponto a $\in$ X é um ponto interior de X se existe $\delta$>0 tal que (a-$\delta, a+\delta)\subset$ X.
\end{defn}

\begin{nota}
    O conjunto dos pontos interiores de X será denotado por int(X).
\end{nota}

\begin{defn}
    Seja X $\subset \mathbb{R}$. O conjunto X é aberto quando todos os pontos de X são pontos interiores de X, ou seja, X = int(X).
\end{defn}

\begin{prop}
    Uma união qualquer de abertos é um conjunto aberto, ou seja, se é uma família de conjuntos abertos, então é um conjunto aberto.
\end{prop}

\begin{prop}
    Sejam subconjuntos abertos de $\mathbb{R}$. Então é um conjunto aberto.
\end{prop}

\begin{defn}
    Um conjunto F $\subset \mathbb{R}$ é fechado se, e somente, $F^{c}$ é um conjunto aberto.
\end{defn}

\begin{defn}
    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um ponto a $\in \mathbb{R}$ é um ponto de acumulação de X se para todo $\delta$ > 0, temos (a-$\delta, a+\delta) \cap (X-  )\ne \varnothing$.
\end{defn}

\begin{nota}
    O conjunto dos pontos de acumulação de X  será denotado por X'.
\end{nota}

\begin{defn}
    Seja X $\subset \mathbb{R}$. O fecho de X é o conjunto = X $\cup$ X'.
\end{defn}

\begin{defn}
    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um conjunto A $\subset$ X é dito denso em X se   = X.
\end{defn}

\begin{prop}
    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um subconjunto A $\subset$ X é denso em X se, e somente se, para todo a $\in$ X e para todo $\epsilon$ > 0, (a-$\epsilon, a+\epsilon) \cap A \ne \varnothing.$
\end{prop}

\begin{defn}
    Um conjunto compacto em $\mathbb{R}$ é um conjunto fechado e limitado.
\end{defn}

\subsection{Base ternária (base 3)}











































\section{A construção do conjunto de Cantor}
Consideremos o segmento que representa o intervalo fechado $\textit{I}$ = [0,1]. No primeiro passo, dividimos $\textit{I}$ em três partes iguais e, em seguida, removemos o intervalo aberto (⅓, ⅔), a qual chamaremos de terço médio de $\textit{I}$. Chamemos de C1 o conjunto dos pontos restantes de $\textit{I}$. Assim, C1 = [0,⅓]U[⅔,1].
    \newline
No segundo passo, dividimos em três partes iguais os dois intervalos fechados de C1 e, em seguida, removemos os intervalos abertos (1/9, 2/9) e (7/9,8,9). Chamemos então de C2 o conjunto dos pontos restantes de C1. Ou seja, C2 = [0,1/9]U[2/9]U[⅔,7/9]U[7/9,1].
    \newline
  Então prosseguindo indutivamente dessa maneira, de tal forma que Cn é constituído dos pontos de Cn-1 retirando o terço médio aberto de Cn, obtemos uma sequência de conjuntos: C1, C2,..., Cn,... tais que
  \newline
  $\textit{I}\supset C1 \supset C2 \supset ... \supset Cn-1\supset Cn \supset$ ...
  \newline
  Observe que Cn consiste em $2^{n}$ intervalos fechados e disjuntos dois a dois.

\begin{defn}
    Sendo $\textit{C}$ o conjunto de Cantor temos que C =

\end{defn}

\begin{teo}
     Os elementos do conjunto de Cantor possuem expansão ternária (base 3) usando apenas os dígitos 0 e 2, ou seja,
\end{teo}

\section{Propriedades do conjunto de Cantor}

\begin{prop}
    O conjunto $\textit{C}$ não é vazio.
\end{prop}

\textbf{Demonstração:} Pelo (Teorema), vimos que se um número pertencente a $\textit{I}$ = [0,1] cuja expansão ternária possui somente os dígitos 0 e 2, então esse número pertence ao conjunto de Cantor. Como = , então . Portanto, $\textit{C} \ne \varnothing$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$

\begin{prop}
    $\textit{C}$ é um conjunto fechado.
\end{prop}

\textbf{Demonstração:} Sejam os intervalos retirados durante a construção de $\textit{C}$. Pela (proposição), é um conjunto aberto. Então, é um conjunto fechado (def). Mas, $\textit{C} = \cap [0,1]$ e [0,1] é um conjunto fechado, assim pela (prop) $\textit{C}$ é um conjunto fechado.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$

\begin{prop}
    $\textit{C}$ é um conjunto compacto.
\end{prop}

\textbf{Demonstração:} Temos que $\textit{I}$ é um conjunto limitado e como $\textit{C} \subset \textit{I}$, então $\textit{C}$ também é limitado. Pela (prop), vimos que $\textit{C}$ é fechado, como $\textit{C}$ também é limitado, logo pela (prop) $\textit{C}$ é um conjunto compacto.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$

\begin{prop}
    $\textit{C}$ é um conjunto não enumerável.
\end{prop}

\begin{prop}
    O conjunto de Cantor possui interior vazio, ou seja, int($\textit{C}) = \varnothing$.
\end{prop}

\textbf{Demonstração:} Suponha, por absurdo, que $int(\textit{C}) \ne \varnothing$ e seja x $\in int(\textit{C})$. Então, $\exists \delta$ > 0 tal que (x-$\delta$,x+$\delta) \subset \textit{C}$ pela (def).
\newline Assim, (x-$\delta$, x+$\delta) \subset , \forall n \in \mathbb{N}$. Como é a união de $2^{n}$ intervalos disjuntos de comprimento $\frac{1}{3^{n}}$, o intervalo (x-$\delta,x+\delta$) deverá estar contido em um desses subintervalos de . Como   $\frac{1}{3^{n}}\rightarrow 0$, então $\exists m \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{3^{n}} < \delta$. Mas, o intervalo (x-$\delta,x+\delta$) tem comprimento $2\delta > \delta>\frac{1}{3^{n}}$.
\newline Desta forma, (x-$\delta,x+\delta$) não está contido em nenhum dos subintervalos de . Logo, (x-$\delta,x+\delta$) , o que é um absurdo.
\newline Portanto, int(\textit{C}) = \varnothing.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$












\section{Conclusão}

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\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{CD} SINGH, Simon.\textit{ Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical}. Anchor Books, New York, 307 pp., (1997).




\end{thebibliography}


\end{document}