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FelipeNeto2

TRABALHO IC (versão não definitiva)

FelipeNeto2
Mar 31st, 2020
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  1. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  2. %   taisesantiago@gmail.com
  3. %   Modelo para artigos em Português
  4. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  5.  
  6. \documentclass[12pt]{article}
  7.  
  8. \usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}
  9. \usepackage{geometry}
  10. \usepackage{graphicx}
  11. \usepackage{amsmath}
  12. \usepackage{amsfonts}
  13. \usepackage{amssymb}
  14. \usepackage{latexsym}
  15. \usepackage[brazil]{varioref}
  16. \usepackage[english,brazil]{babel}
  17. \usepackage[dvips]{color}
  18. \usepackage[brazilian]{babel}
  19. \usepackage[utf8]{inputenc}
  20. \usepackage[T1]{fontenc}
  21. \usepackage{indentfirst}
  22. \newtheorem{exmp}{Exemplo}[section]
  23. \usepackage{enumitem}
  24. \usepackage{hyperref}
  25.  
  26. \setlength{\parindent}{4em}
  27. \setlength{\parskip}{1em}
  28. \renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
  29.  
  30. %%%%%%%%%%Definições Teoremas %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  31.  
  32.  \newtheorem{teo}{Teorema}[section]
  33. \newtheorem{cor}{Corolário}[section]
  34. \newtheorem{lem}{Lema}[section]
  35. \newtheorem{prop}{Proposição}[section]
  36. \newtheorem{defn}{Definição}[section]
  37. \newtheorem{nota}{Notação}
  38. \newtheorem{obs}{Observação}
  39. \numberwithin{equation}{subsection}
  40. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  41.  
  42. \author{Fernando Ângelo da Silva Bastos (UFRN)\thanks{email: \href{mailto:bastosfernando79@gmail.com}{bastosfernando79@gmail.com}}        
  43.    \and    
  44.    Viviane Simioli Medeiros Campos (UFRN)\thanks{email: \href{mailto:viviane@ccet.ufrn.com}{viviane@ccet.ufrn.com}}}%
  45.  
  46.  
  47. \title{O conjunto de Cantor}
  48.  
  49. \begin{document}
  50.  
  51. \date{}
  52.  
  53. \maketitle \abstract{Neste trabalho apresentamos a construção do Conjunto de Cantor. A construção em si não é difícil de entender, recorre fortemente ao conceito do infinito, à ideia que um determinado processo possa ser efetuado sempre uma vez a mais, uma vez a mais, ... . Já as propriedades desse conjunto não são simples e nem mesmo intuitivas: é um conjunto não vazio mas que tem interior vazio.
  54.  
  55. \medskip
  56.  
  57. }
  58.  
  59. \section*{Introdução}
  60.  
  61. O Conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo $[0,1]$ obtido como o complementar de uma reunião de intervalos abertos. Sua construção é feita de maneira indutiva, ou seja, seguindo uma sequência pré-determinada de passos, e não é difícil de entender, como veremos na Seção 2.
  62.  
  63. Algumas das propriedades do Conjunto de Cantor não são nada intuitivas e por isso ele se apresenta como um belo exemplo na teoria dos conjuntos. Vamos mostrar que o Conjunto de Cantor é não vazio, apesar de ser o resultado de infinitas retiradas de intervalos não vazios. Vamos mostrar que o Conjunto de Cantor apesar de ser não enumerável, isto é, de possuir "mais" elementos que o conjunto dos números Naturais, ele tem medida nula, ou seja, a probabilidade de pegarmos um elemento do conjunto de Cantor ao escolhermos um elemento qualquer do intervalo $[0,1]$ é zero.
  64.  
  65. Com o objetivo de entendermos as propriedades do Conjunto de Cantor, iniciamos esse trabalho com alguns conceitos sobre os números reais e algumas noções de topologia.
  66.  
  67. \section{Conceitos preliminares}
  68. Segue abaixo alguns conceitos fundamentais para entendermos as propriedades do conjunto de Cantor.
  69.  
  70. \subsection{Conjuntos e Números Reais}
  71.  
  72. \begin{defn}
  73. Um conjunto X chama-se finito quando é vazio ou quando existe, para algum $n \in \mathbb{N}$, uma bijeção f : $I_n \rightarrow X$    
  74. \end{defn}
  75.  
  76. \begin{teo}
  77. Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva $\mathbb{N} \rightarrow X$.    
  78. \end{teo}
  79.  
  80. \begin{defn}
  81. Um conjunto X é dito enumerável se existe uma bijeção f : $\mathbb{N} \rightarrow X$.
  82. \end{defn}
  83.  
  84. \begin{defn}
  85. Dado $x \in \mathbb{R}$,
  86.  
  87. \[
  88. \left | x \right | =
  89. \begin{cases}
  90. \hfill x & \text{se $x\geq 0$}\\
  91.      -x & \text{se $x<0$}
  92. \end{cases}
  93. \]
  94.  
  95. \end{defn}
  96.  
  97. \begin{defn}
  98.    Sejam $a,b \in \mathbb{R}$ com a < b. Então:
  99.    \newline
  100.    \newline
  101.    $[a,b] := \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\} $
  102.    \newline
  103.    $(a,b] := \{ x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$
  104.    \newline
  105.    $[a,b) := \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$
  106.    \newline
  107.    $(a,b) := \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$
  108.    \newline
  109.    $(-\infty,b] := \{ x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
  110.    \newline
  111.    $(-\infty,b) := \{ x \in \mathbb{R} : x < b\}$
  112.    \newline
  113.    $[a,+\infty) := \{ x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
  114.    \newline
  115.    $(a,+\infty) := \{ x \in \mathbb{R} : x > a\}$
  116.    \newline
  117.    $[a,a]$ é denominado intervalo degenerado
  118.    
  119. \end{defn}
  120.  
  121. \begin{defn}
  122.    Seja X um conjunto tal que X $\subset \mathbb{R}.$ Dizemos que X é limitado superiormente quando existe $b \in \mathbb{R}$ tal que $x \leq b$, $\forall x \in X$.\hspace{-1ex} Analogamente, dizemos que X $\subset \mathbb{R}$ é limitado inferiormente quando existe a $\in \mathbb{R}$ tal que $a \leq x$, $\forall x \in X$. O número b chama-se cota superior de X e o número a chama-se cota inferior de X. Se X é limitado superior e inferiormente, dizemos que X é limitado. Isto significa que existe $k > 0$ tal que $|x| \leq k$, $\forall x \in X$.
  123. \end{defn}
  124.  
  125. \begin{teo}
  126.    (Intervalos Encaixados) Dada uma sequência decrescente: \\
  127.    \newline
  128.    \centerline{$I_1\supset I_2 \supset I_3 \supset ... $} \\
  129.    \newline
  130.     de intervalos não-vazios, limitados e fechados: $I_n = [a_n,b_n]$, existe pelo menos um número c tal que c $\in I_n$, $\forall n \in \mathbb{N}$.
  131. \end{teo}
  132.  
  133. \subsection{Noções topológicas em $\mathbb{R}$}
  134.  
  135. \begin{defn}
  136.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um ponto a $\in$ X é um ponto interior de X se existe $\delta$ > 0 tal que $(a-\delta, a+\delta)\subset$ X.
  137. \end{defn}
  138.  
  139. \textbf{Notação:}
  140.    O conjunto dos pontos interiores de X será denotado por int(X).
  141.  
  142. \begin{defn}
  143.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. O conjunto X é aberto quando todos os pontos de X são pontos interiores de X, ou seja, X = int(X).
  144. \end{defn}
  145.  
  146. \begin{prop}
  147.    Uma união qualquer de abertos é um conjunto aberto, ou seja, se $\{A_\lambda\}_\lambda_\in_L$ é uma família de conjuntos abertos, então $\underset{\lambda\in L}{\bigcup} A_\lambda$ é um conjunto aberto.
  148. \end{prop}
  149.  
  150. \begin{prop}
  151.    Sejam $A_1, A_2,...,A_N$ subconjuntos abertos de $\mathbb{R}$. Então: $\bigcap\limits^N_{i=1}A_i$ é um conjunto aberto.
  152. \end{prop}
  153.  
  154. \begin{defn}
  155.    Um conjunto F $\subset \mathbb{R}$ é fechado se, e somente, $F^{C}$ é um conjunto aberto.
  156. \end{defn}
  157.  
  158. \begin{prop}
  159. (a) A união de uma quantidade finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
  160.  
  161. (b) A interseção de uma quantidade qualquer de conjuntos fechados é um conjunto fechado.    
  162. \end{prop}
  163.  
  164. \begin{defn}
  165.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um ponto a $\in \mathbb{R}$ é um ponto de acumulação de X se para todo $\delta$ > 0, temos $(a-\delta, a+\delta) \cap (X-\{a\})\ne \emptyset$.    
  166. \end{defn}
  167.  
  168. \textbf{Notação:}
  169.    O conjunto dos pontos de acumulação de X  será denotado por X'.
  170.  
  171. \begin{defn}
  172.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. O fecho de X é o conjunto $\overline{X} = X \cup X'$.
  173. \end{defn}
  174.  
  175. \begin{defn}
  176.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um conjunto A $\subset$ X é dito denso em X se $\overline{A} = X$.
  177. \end{defn}
  178.  
  179. \begin{prop}
  180.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um subconjunto A $\subset$ X é denso em X se, e somente se, para todo a $\in$ X e para todo $\epsilon > 0$, $(a-\epsilon, a+\epsilon) \cap A \ne \emptyset.$
  181. \end{prop}
  182.  
  183. \begin{defn}
  184.    Um conjunto compacto em $\mathbb{R}$ é um conjunto fechado e limitado.
  185. \end{defn}
  186.  
  187. \begin{defn}
  188.    Chama-se cobertura de um conjunto $X \subset \mathbb{R}$ a uma família C de conjuntos $C_\lambda$ cuja reunião contém X.
  189. \end{defn}
  190.  
  191. \begin{defn}
  192. Seja $X \subset \mathbb{R}$. Dizemos que um conjunto X tem medida nula se para qualquer $\epsilon > 0$, existe uma cobertura finita ou infinita enumerável de X por intervalos abertos $I_k$, isto é, $X \subset \underset{k \in L}{\bigcup} I_k$  tal que $\underset{k \in L}{\sum} |I_k| < \epsilon$.  
  193. \end{defn}
  194.  
  195. \subsection{Base ternária (base 3)}
  196.  
  197. \begin{defn}
  198. Seja x $\in[0,1]$, representar x na base 3 significa escrever $x = (0,x_1x_2x_3...x_n...)_3$ em que cada um dos dígitos $x_n$ é igual a 0, 1 ou 2, de tal modo que \\
  199.  
  200.    \centerline{x $= \frac{x_1}{3^1} + \frac{x_2}{3^2} + \frac{x_3}{3^3} + ...+ \frac{x_n}{3^n}+$...} \\
  201. \end{defn}
  202.  
  203. \begin{exmp}
  204. Temos que $\frac{1}{3} = (0,1)_3$. De fato, pois \\
  205.  
  206.    \centerline{$\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} + \frac{0}{3^2} + \frac{0}{3^3}+...$}  
  207. \end{exmp}
  208.  
  209. \begin{exmp}
  210. Da mesma forma $\frac{17}{27} = (0,122)_3$, pois  \\
  211.  
  212.    \centerline{$\frac{17}{27} = \frac{1}{3^1} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3}+\frac{0}{3^4}+\frac{0}{3^5}+...$}
  213. \end{exmp}
  214.  
  215. \begin{prop}
  216. A representação de uma fração irredutível na base 3 é finita se, e somente se, o denominador é uma potência de 3.
  217. \end{prop}
  218.  
  219. \begin{prop}
  220. Um número racional possui representação infinita e periódica na base 3 se, e somente se, é da forma $\frac{p}{q}$, sendo que q não é uma potência de 3.
  221. \end{prop}
  222.  
  223. \begin{prop}
  224. Um número é irracional se, e somente se, possui representação infinita e não periódica na base 3.
  225. \end{prop}
  226.  
  227. \begin{exmp}
  228. $\frac{1}{4} = (0,020202...)_3$. \\
  229. \newline Note que, pela Proposição $1.5$ $\frac{1}{4}$ possui representação ternária infinita e periódica. Mas, \\
  230.  
  231.    \centerline{$\frac{1}{4} = \frac{0}{3^1}+\frac{2}{3^2}+\frac{0}{3^3}+\frac{2}{3^4}+... = \frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^4}+...+\frac{2}{3^{2n}}+...$} \
  232.  
  233. De fato, temos no membro direito da igualdade uma série geométrica de razão $\frac{1}{9}$. Usando a fórmula \
  234.  
  235.    \centerline{S = $\frac{a_1}{1-q}$} \
  236.  
  237. \hspace{-4ex} em que $a_1$ é o primeiro elemento da série e q a razão. Assim, \\
  238.  
  239.    \centerline{$S = \frac{\frac{2}{3^2}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3^2}}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{4}$}
  240. \end{exmp}
  241.  
  242. \section{A construção do conjunto de Cantor}
  243. Consideremos o segmento que representa o intervalo fechado $\textit{I}$ = [0,1]. No primeiro passo, dividimos $\textit{I}$ em três partes iguais e, em seguida, removemos o intervalo aberto $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$, a qual chamaremos de terço médio de $\textit{I}$. Chamemos de C1 o conjunto dos pontos restantes de $\textit{I}$. Assim, $C_1 = [0,\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},1]$.
  244. \newline
  245.  
  246. No segundo passo, dividimos em três partes iguais os dois intervalos fechados de $C_1$ e, em seguida, removemos os intervalos abertos $(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$ e $(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$. Chamemos então de $C_2$ o conjunto dos pontos restantes de $C_1$. Ou seja, $C_2 = [0,\frac{1}{9}]\cup[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup[\frac{8}{9},1]$.
  247. \newline
  248.  
  249. Então prosseguindo indutivamente dessa maneira, de tal forma que $C_n$ é constituído dos pontos de $C_{n-1}$ retirando o terço médio aberto de $C_n$, obtemos uma sequência de conjuntos: $C_1, C_2,..., C_n,...$ tais que $\textit{I}\supset C_1 \supset C_2 \supset ... \supset C_{n-1}\supset C_n \supset$ ...
  250. \newline
  251.  
  252. Observe que $C_n$ consiste em $2^{n}$ intervalos fechados e disjuntos dois a dois.
  253.  
  254. \begin{defn}
  255.    O conjunto de Cantor $\textit{C}$ é a interseção dos conjuntos $\textit{C}_n$, obtidos através da remoção sucessiva dos terços médios abertos do intervalo $I = [0,1]$, ou seja, $C = \bigcap\limits^\infty_{n=1}C_n$.
  256.  
  257. \end{defn}
  258.  
  259. \begin{teo}
  260.     Os elementos do conjunto de Cantor possuem expansão ternária (base 3) usando apenas os dígitos 0 e 2, ou seja,
  261.     \newline \\
  262.     \centerline{$\textit{C} = \{x \in [0,1]: x = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i_n}{3^{n}}$ para $i_n = 0$ ou $i_n = 2\}$}
  263.  
  264. \end{teo}
  265.  
  266. \textbf{Demonstração:}
  267. No primeiro passo da construção do conjunto de Cantor quando retiramos o intervalo aberto $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$, excluímos os números $x \in [0,1]$ cuja representação ternária, $x = (0,1x_2x_3...)_3$, tem $x_1 = 1$, com a única exceção de $\frac{1}{3} = (0,1)_3$ que permanece.  
  268.  
  269. No segundo passo, excluímos os números reais dos intervalos $(\frac{1}{9},\frac{2}{9})$ e $(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$, ou seja, aqueles da forma $(0,01x_3x_4...)_3$ ou da forma $(0,21x_3x_4...)_3$ com exceção de $\frac{1}{9} = (0,01)_3$ e de $\frac{7}{9} = (0,21)_3$ que permanecem.
  270.  
  271. No terceiro passo, removemos os intervalos $(\frac{1}{27},\frac{3}{27})$, $(\frac{7}{27},\frac{8}{27})$, $(\frac{19}{27},\frac{20}{27})$ e $(\frac{25}{27},\frac{26}{27})$ que contém os números da seguinte forma: $(0,001x_4x_5...)_3$, $(0,021x_4x_5...)_3$, \newline $(0,201x_4x_5...)_3$ e $(0,221x_4x_5...)_3$ (com exceção de $\frac{1}{27} = (0,001)_3$, $\frac{7}{27} = (0,021)_3$, $\frac{19}{27} = (0,201)_3$ e $\frac{25}{27} = (0,221)_3$ que permanecem.
  272.  
  273. Esse processo continua indutivamente. De modo geral, fica garantido que os elementos do conjunto de Cantor são os números do intervalo $I = [0,1]$ cuja representação ternária $x = (0,x_1x_2x_3...)_3$ só contém os algarismos 0 e 2, com exceção daqueles que possuem um único algarismo igual a 1 como algarismo significativo final, como $\frac{7}{27} = (0,021)_3$, por exemplo. Mas, se observarmos que $(0,021)_3 = (0,020222...)_3$, poderemos sempre substituir o algarismo final 1 pela sequência 0,222.... Com esta convenção (também usada em outras bases, como por exemplo, na base decimal), podemos afirmar, sem exceções, que os elementos do conjunto de Cantor são os números do intervalo $I = [0,1]$ cuja representação na base 3 só contém os algarismos 0 e 2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$  
  274.  
  275. \section{Propriedades do conjunto de Cantor}
  276.  
  277. \begin{prop}
  278.    O conjunto $\textit{C}$ de Cantor não é vazio.
  279. \end{prop}
  280.  
  281. \textbf{Demonstração:} Pelo Teorema $2.1$, vimos que se um número pertencente a $\textit{I} = [0,1]$ cuja expansão ternária possui somente os dígitos 0 e 2, então esse número pertence ao conjunto de Cantor. Como $\frac{1}{4} = (0,0202...)_3$, então $\frac{1}{4} \in \textit{C}$.
  282.  
  283. Portanto, $\textit{C} \ne \emptyset$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\Box$
  284.  
  285. \begin{prop}
  286. O conjunto $\textit{C}$ é infinito.    
  287. \end{prop}
  288.  
  289. \textbf{Demonstração:} Para provar esse resultado é suficiente mostrar que existe uma bijeção injetiva $\mathbb{N} \rightarrow X$. Note que, $\frac{1}{3^{n-1}}, n \in \mathbb{N}$, pertencem ao conjunto de Cantor e formam um subconjunto do mesmo. Temos que $\mathbb{N} \rightarrow X$ dada por $f(n) = \frac{1}{3^{n-1}}$. De fato, sejam $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ e $f(n_1) = f(n_2)$ o que implica $\frac{1}{3^{n_1-1}} = \frac{1}{3^{n_2-1}}$, assim $n_1 = n_2$. Portanto, f é injetiva e o conjunto $\textit{C}$ é infinito.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\Box$  
  290.  
  291. \begin{prop}
  292.    $\textit{C}$ é um conjunto fechado.
  293. \end{prop}
  294.  
  295. \textbf{Demonstração:} Sejam $(T_\lambda)_{\lambda \in \mathbb{N}}$ os intervalos retirados durante a construção de $\textit{C}$. Pela Proposição $1.1$, $\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda$ é um conjunto aberto. Então, ${(\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda)}^{C}$ é um conjunto fechado (Definição $1.8$). Mas, $\textit{C} = {(\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda)}^{C} \cap [0,1]$ e [0,1] é um conjunto fechado, assim pela Proposição $1.3$ $\textit{C}$
  296. \hspace{0.5ex}é um conjunto fechado.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  297.  
  298. \begin{prop}
  299.    $\textit{C}$ é um conjunto compacto.
  300. \end{prop}
  301.  
  302. \textbf{Demonstração:} Temos que $\textit{I}$ é um conjunto limitado e $\textit{C} \subset \textit{I}$, então $\textit{C}$ também é limitado. Pela Proposição $3.3$, vimos que $\textit{C}$ é fechado, e como $\textit{C}$ também é limitado, logo pela Definição $1.12$ C é um conjunto compacto.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  303.  
  304. \begin{prop}
  305.    $\textit{C}$ é um conjunto não enumerável.
  306. \end{prop}
  307.  
  308. \textbf{Demonstração:} Suponhamos por absurdo que o conjunto de Cantor seja enumerável. Usando representações ternárias podemos escrever todos seus elementos numa lista da seguinte maneira \\
  309.  
  310.    \centerline{$0,a_{1,1}a_{1,2}a_{1,3}a_{1,4}...$} \\
  311.    \centerline{$0,a_{2,1}a_{2,2}a_{2,3}a_{2,4}...$}
  312.    \centerline{\vdots}
  313.    
  314. \hspace{-4.5ex} usando apenas os dígitos 0 e 2. Agora construiremos o seguinte elemento do conjunto de Cantor
  315.  
  316.    \centerline{$0,b_1b_2b_3b_4...$}
  317.    \vspace{3mm}
  318.    
  319. \hspace{-4.5ex} onde $b_j$ é um algarismo diferente de $a_{j,j}$ e de 1. Pelo Teorema ? este é um elemento do conjunto de Cantor. Note também que este elemento não está na lista anterior.
  320.  
  321. Portanto, $\textit{C}$ é não enumerável.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  322.  
  323. \begin{prop}
  324.    O conjunto de Cantor possui interior vazio, ou seja, int($\textit{C}) = \emptyset$.
  325. \end{prop}
  326.  
  327. \textbf{Demonstração:} Suponha, por absurdo, que $int(\textit{C}) \ne \emptyset$ e seja x $\in int(\textit{C})$. Então, \newline $ \exists \delta$ > 0 tal que (x-$\delta$,x+$\delta) \subset \textit{C}$ pela Definição $1.6$.
  328.  
  329. Assim, (x-$\delta$, x+$\delta) \subset C_n , \forall n \in \mathbb{N}$. Como $C_n$ é a união de $2^{n}$ intervalos disjuntos de comprimento $\frac{1}{3^{n}}$, o intervalo (x-$\delta,x+\delta$) deverá estar contido em um desses subintervalos de $C_n$. Como   $\frac{1}{3^{n}}\rightarrow 0$, então $\exists m \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{3^{n}} < \delta$. Mas, o intervalo (x-$\delta,x+\delta$) tem comprimento $2\delta > \delta>\frac{1}{3^{n}}$.
  330.  
  331. Desta forma, (x-$\delta,x+\delta)$ não está contido em nenhum dos subintervalos de $C_m$, ou seja, (x-$\delta,x+\delta)\nsubseteq C_m$, o que é um absurdo.
  332.  
  333. Portanto, $int(\textit{C}) = \emptyset$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  334.  
  335. \begin{prop}
  336.    O conjunto $\textit{C}^C$ é denso em $[0,1]$.
  337. \end{prop}
  338.  
  339. \textbf{Demonstração:}
  340. Devemos mostrar que $\overline{{C}^C} = [0,1]$. Temos pela Proposição $1.8$ que $\textit{C}^C$ é aberto, segue então que $\textit{C}^C = int({C}^C)$ (Definição $1.7$). Já pela Definição $1.10$ vemos que $\overline{{C}^C} = {C}^C \cup ({C}^C)' = int({C}^C) \cup (int({C}^C))'$. Mas, $int({C}^C) = int(C)^C$ e $int(C) = \emptyset$ (Proposição $3.6$). Logo, $\overline{{C}^C} = int(C)^C \cup (int(C)^C) = \emptyset^C \cup (int(C)^C)'$, assim $\overline{{C}^C} = [0,1] \cup (int(C)^C)'$.
  341.  
  342. Portanto, $\overline{{C}^C} = [0,1]$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  343.  
  344. \begin{prop}
  345.    O conjunto de Cantor possui medida nula.
  346. \end{prop}
  347.  
  348. \textbf{Demonstração:}
  349. Ao pararmos no n-ésimo passo da construção do conjunto de Cantor, garantiremos que $\textit{C}$ está contido na reunião de $2^{n}$ intervalos, cada um tendo comprimento $\frac{1}{3^{n}}$. Dado $\epsilon>0$, podemos tomar $n\in\mathbb{N}$ tal que $({\frac{2}{3}})^{n}<\epsilon$.
  350.  
  351. Portanto, pela Definição $1.14$ $\textit{C}$ possui medida nula.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\Box$
  352.  
  353. \section{Conclusão}
  354.  
  355. O Conjunto de Cantor é um excelente exemplo onde podemos aplicar os conceitos ensinados nos cursos de Análise Real para entender as propriedades de um conjunto numérico que tem sua importância primeira no mundo abstrato da matemática.
  356.  
  357. \begin{thebibliography}{99}
  358.  
  359. \bibitem{CD} Alves, M. T.\textit{ O conjunto de Cantor. Trabalho de Conclusão de Curso. Departamento de Matemática UFSC, 2008}.
  360.  
  361. \bibitem{CD} LIMA, E. L.; \textit{ Curso de Análise - volume 1}. IMPA, Rio de Janeiro, 2006.
  362.  
  363. \bibitem{CD} MOURA, E. C. ; SANTOS, E. R. . Conjunto de Cantor: um conjunto não enumerável com medida de Lebesgue zero. In: XVI Semat e VI Semest, 2016, Uberlândia.
  364.  
  365. \bibitem{CD} NASCIMENTO, Bismark Gonçalves do. Um Estudo do Conjunto de Cantor. 2017.\newline 51 f. Monografia (Graduação) - Curso de Matemática, Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Caicó, RN, 2017.
  366.  
  367. \end{thebibliography}
  368.  
  369. \end{document}
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