ΨΕΣ - Εξήγηση σχημάτων

Μάθημα 7 – Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος – DFT σε Matlab - Εξήγηση Σχημάτων


* 1ο Plot: Δείχνει τις x[n], h[n] 20 δειγμάτων με κόκκινο και μπλε χρώμα αντίστοιχα.
Επίσης δείχνει τις 2 πιθανές εξόδους, την μαύρη (ytest) που είναι λάθος και την πράσινη (y) που είναι η σωστή. Η πράσινη (y σκέτο) είναι η σωστή, διότι έχει προέλθει από την συνέλιξη conv(x, h) και επομένως περιέχει 20+20-1 = 39 δείγματα.

Από την άλλη, η μαύρη (ytest[n]) είναι λάθος για τον εξής λόγο.
Έχει προκύψει από τον ifft(Ytest[k]) = ifft(X[k]H[k]), δλδ τον αντίστροφο DFT του γινομένου X[K]Y[K], όπου Χ = φουριέ της Χ με 20 δείγματα και Η = φουριέ της h με 20 επίσης δείγματα, Άρα και ο Υtest = X .* Η έχει 20 δείγματα ----> και ο ytest είναι με 20 δείγματα ---> ΛΑΘΟΣ, γτ θα έπρεπε να έχει 39 λόγω συνέλιξης.
Αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο των DFT  (Χ με 20, Η με 20) στις συχνότητες (20 δείγματα και το γινόμενο) αν το αναποδογυρίσω με IDFT απευθείας θα βγάλει λάθος έξοδο με 20 μόλις δείγματα αντί των 39.

Θα έπρεπε να κάνω zero padding και να κάνω την ίδια διαδικασία

* 2ο Plot: Δείχνει τις X[k], H[k] με 20 δείγματα και επίσης δείχνει και το γινόμενο τους, δηλαδή το μαύρο φάσμα Ytest[k]. Υπενθυμίζουμε ότι αν αντιτρέψω κατευθείαν το “μαύρο” γινόμενο/φάσμα θα βγάλω την ytest[n] με 20 δείγματα = ΛΑΘΟΣ.

* 3ο Plot: Εδώ κάνουμε zero padding στις x, h που σημαίνει ότι πλέον περιέχουν εκτός από τα 20 κανονικά δείγματα που είχα και πριν, και άλλα 19 μηδενικά στο τέλος (αθροιστικά 39 δείγματα), πράγμα που φαίνεται και από τις ευθείες κόκκινες και μπλε γραμμές μετά το 20ό δείγμα (x[n] = h[n] = 0,  21 <= n <= 39).
Ονομάζω τις νέες ακολουθίες με το zero padding ως xx και hh.
Δείχνει επίσης και την yy = σωστή έξοδο = συνέλιξη του x*h στο 1ο plot με πράσινο.

Πώς προέκυψε η σωστή εδώ yy? Αυτό οφείλεται στο zero padding που μου επιτρέπει σωστούς DFT. Πλέον οι DFT Μ/Σ ΧΧ και HH είναι οι αντίστοιχοι των xx, hh (πιο ακριβή τα σχήματα στο 4 λόγω περισσότερων δειγμάτων) και περιέχουν 39 δείγματα, όσα δηλαδή προκύπτουν και απο την συνέλιξη στο πεδίο των n. Έτσι και το γινόμενο τους YY = XX .* HH περιέχει 39 δείγματα (το επιθυμητό μας νούμερο επειδή ξέρω ότι γίνεται συνέλιξη). Επομένως με 39 δείγματα το γινόμενο YY μπορεί με DFT να μας δώσει την yy με 39 δείγματα = η ίδια με την πράσινη.

* 4ο plot: Περιέχει τους 3 DFT: XX, HH και YY. Εδώ όλοι λόγω του zero padding έχουν 39 στοιχεία και έτσι γίνεται να κάνω IDFT στο γινόμενο YY και να πάρω το σωστό yy με 39 στοιχεία = ίδιο με την συνέλιξη στο σχήμα 1. Ουσιαστικά, και εδώ κάνω ifft του γινομένου, αλλά είναι σωστό επειδή έχω κάνει zero padding στις ακολουθίες και δεν θα έχω θέμα λόγω συνέλιξης που παράγει 39 δείγματα.