\documentclass[a4paper,twocolumn]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{longtable}
\begin{document}

\onecolumn
\tableofcontents
\listoffigures

\newpage
\section{Периодограмма}
Периодограмма — оценка спектральной плотности мощности (СПМ), основанная на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье последовательности данных. Если при расчёте СПМ используется весовая функция (окно), то полученная оценка СПМ называется модифицированной периодограммой. Периодограмма не является состоятельной оценкой СПМ, поскольку дисперсия такой оценки сравнима с квадратом её математического ожидания. С ростом числа используемых отсчётов значения периодограммы начинают всё быстрее флуктуировать.


\newpage
\section{Исторические сведения}
Термин периодограмма впервые был упомянут Артуром Шустером в 1898 году. Шустер применил периодограмму для отыскания периодичностей в записях метеорологических наблюдений, записях магнитного склонения и ряда чисел солнечных пятен. Он выполнил предварительную обработку среднемесячных значений числа солнечных пятен за период с 1749 по 1894 год. Периодограммный анализ позволил дать оценку цикла солнечных пятен, равную 11,125 года. Шустер указал многочисленные трудности, связанные с вычислением периодограммы, и характерные её особенности. Изменяя начало отсчёта времени, он получал образцы периодограммы с различными нерегулярными изменениями. Шустер из своего опыта гармонического анализа оптических спектров знал, что усреднение значений, полученных для различных отрезков последовательности данных, необходимо для сглаживания периодограммы и устранения ложных пиков. И хотя Шустер установил необходимость усреднения, практическая его реализация требовала вычислительных средств, далеко выходящих за рамки имеющихся в те годы технических возможностей. Шустер также понимал, что боковые лепестки вокруг главных лепестков в периодограмме являются неотъемлемой особенностью любого метода анализа Фурье записей данных конечной длины.
Многие исследователи начала прошлого столетия считали, что периодограммы, вычисленные по зашумлённым данным, будут иметь значительные погрешности и вообще не будут содержать каких-либо доминирующих пиков, которые могли бы свидетельствовать о наличии периодичностей в анализируемых данных. Причём это считалось справедливым даже тогда, когда длина записи данных существенно возрастала. Примеры таких периодограмм показаны на рисунке (см. рис.~\ref{period}), из которого видно, что с использованием всё большего и большего числа отсчётов данных периодограмма начинает всё сильнее и сильнее флуктуировать. Всё это привело к тому, что на несколько десятилетий интерес к периодограммам значительно ослабел, и это в основном можно объяснить лишь тем, что большинство исследователей пренебрегало усреднением, использовать которое предлагал Шустер. Слуцкий и несколько позднее Даньелл независимо установили, что флуктуации периодограммы белого шума имеют ту же величину, что и среднее значение самой этой периодограммы. Эти флуктуации оказывались в основном некоррелированными для соседних частот. Слуцкий и Даньелл высказали предположение, что флуктуации периодограммы можно уменьшить посредством её усреднения по соседним частотам. Эта идея лежит в основе одного из методов сглаживания периодограммы.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{period.eps}
\caption{Периодограммы белого гауссова шума при различной длине используемой записи данных. С ростом длины записи данных периодограмма не уплощается, а начинает всё сильнее флуктуировать.}
\label{period}
\end{figure}

\section{Математическое описание}
В литературе существует несколько определений термина периодограмма. Одно из них связано с усреднением квадрата модуля преобразования Фурье по некоторой выборке измерений:
\begin{equation}
    S_{T}(w) = E\left(\frac{|X_{T}(iw)|}{T_{r}}^{2}\right)
\end{equation}
где $X_{T}(iw)$ — амплитуда преобразования Фурье функции $x(t)$ на конечном временном интервале, $T_{r}$ - интервал финитности, $E(\dots)$ - оператор статического усреднения.
Также следует вспомнить формулу преобразование Фурье:
\begin{equation}
    F(w)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-iwt}dt
\end{equation}
Для периодограммы существует множество формул ее определения. Одна из них:
\begin{equation}
    X_{\frac{1}{T}}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(f-\frac{k}{T}\right)
\end{equation}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{pushkin}
  Пушкин~А.~С. Руслан и Людмила. М.: Мир, 1999. 204 с.
\bibitem{lenin}
  Ленин~В.~И. Собрание сочинений. Том 25. М.: Политиздат, 1976. 998  с.
\end{thebibliography}\end{document}