latex_example

\documentclass[a4paper, 15pt]{article}
%--------------------------------------
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{ marvosym }
\titleformat*{\section}{\large\bfseries}
%--------------------------------------

%--------------------------------------
\usepackage{hyphenat}
\hyphenation{ма-те-ма-ти-ка вос-ста-нав-ли-вать}
%--------------------------------------
\usepackage{amsmath}
\usepackage[left=10mm,right=10mm,
    top=5cm]{geometry}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{cancel}
\usepackage{array}
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }

\oddsidemargin=-13mm
\textwidth=17cm
\topmargin=-20mm
\textheight=25cm


\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}

\begin{document}

\title{terver}
\author {Азамат}

\setlength{\headheight}{26pt}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[R]{\text{ptms-2.6}}
\fancyhead[C]{\textbf{Листок 6}}
\fancyhead[L]{\text{Азамат Кемал, БПМИ-206}}
\text{ } \\
\text{ } \\
\textbf{Задача 10.} \\
Имеем:
\[X=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right), \quad X_{j}- \text{н.\,o.\,p}, \quad \theta=b-a \quad\]
Сначала $X_{j} \sim U([a ; 0])$, т.е. $b=0$. Можно взять оценку $\theta_{n}(X)=-2 \bar{X}$, где $\bar{X}=\dfrac{X_{1}+\ldots+X_{n}}{n}$
\\
\text{ } \\
УЗБЧ: $X\overset{\text {п.н }}{\longrightarrow} \mathbb{E}_{\theta} X_{1}=\dfrac{a}{2}$, тогда $-2 \bar{X} \rightarrow-a=\theta$ (все аргументы в З-м модуле). \\
То есть $\hat{\theta}_{n}(X)$ сильно состоятельная: \\
\[\mathbb{E}_{\theta}[-2 \bar{X}]=-2 \mathbb{E}_{\theta}[\bar{X}]=-2 \mathbb{E}_{\theta}\left[X_{1}\right]=-2 \cdot \dfrac{a}{2}=-a=\theta\]
То есть $\hat{\theta}_{n}(X)$ несмещённая. \\
Итог $: \hat{\theta}_{n}(X)=-2 \bar{X}-$ несмещённая, сильно состоятельная оценка $\theta=-a$
\\
\text{ } \\
Теперь $X_{j} \sim U([a ; b])$. Возьмём следующую оценку: \\ \[\hat{\theta}_{n}(X)=2(\bar{X}-a)=2 \bar{X}-2 a\] \\
УЗБЧ: $\bar{X} \rightarrow \mathbb{E}_{\theta} X_{1}=\dfrac{b+a}{2}$, тогда $2 \bar{X}-2 a \rightarrow b-a=\theta$ (все объяснения в Зм модуле) \\
То есть $\hat{\theta}_{n}(X)$ сильно состоятельная:\\
\[\mathbb{E}_{\theta}[2 \bar{X}-2 a]=2 \mathbb{E}_{\theta}[\bar{X}]-2 a=2 \mathbb{E}_{\theta}\left[X_{1}\right]-2 a=2 \cdot \frac{b+a}{2}-2 a=b-a=\theta,\]
то есть $\hat{\theta}_{n}(X)$ несмещённая. \\
\text{ } \\
Итог $: \theta_{n}(X)=2 \bar{X}-2 a-$ несмещённая, сильно состоятельная оценка $\theta=b-a$ \\
И, очевидно, что 2-я оценка подходит к 1-у случаю. \\
\text{ } \\
\textbf{Ответ} : $\theta_{n}(X)=2 \bar{X}-2 a-$ несмещённая, сильно состоятельная оценка $\theta=b-a$
\text{ } \\
\text{ } \\
\textbf{Задача 12.} \\
Имеем:
$$
\rho_{X_{1}}(t)=2 a^{-2} x I_{x \in[0 ; a]}, \theta=\sin a, a=\arcsin \theta
$$
\begin{aligned}
    &\mathbb{E}\left[X_{1}\right]=\int_{0}^{a} x \cdot \frac{2 x}{a^{2}} d x=\left.\frac{2 x^{3}}{3 a^{2}}\right|_{0} ^{a}=\frac{2 a}{3} \\
    &\mathbb{E}\left[X_{1}^{2}\right]=\int_{0}^{a} x^{2} \cdot \frac{2 x}{a^{2}} d x=\left.\frac{x^{4}}{2 a^{2}}\right|_{0} ^{a}=\frac{a^{2}}{2} \\
    &\mathbb{D}\left[X_{1}\right]=\mathbb{E}\left[X_{1}^{2}\right]-\mathbb{E}\left[X_{1}\right]^{2}=\frac{a^{2}}{2}-\frac{4 a^{2}}{9}=\frac{a^{2}}{18} \\
\end{aligned}
$$
\text { По ЦПТ }: \sqrt{n}\left(\frac{X_{1}+\ldots+X_{n}}{n}-\frac{2 a}{3}\right)^{d_{\theta}} \rightarrow Z_{1} \sim N\left(0, \frac{a^{2}}{18}\right) \\
$$
Хотим:
\[
    g\left(\frac{2 a}{3}\right)=\sin a=\theta, g(t)=\sin \left(\frac{3 t}{2}\right), g(t)^{\prime}=\frac{3}{2} \cos \left(\frac{3}{2} t\right)
\]
Значит:
\[
    \sqrt{n}\left(g \left(\frac{X_{1}+\ldots+X_{n}}{ n}\right)-g\left(\frac{2a}{3}\right)\right) \overset{d_{\theta}}{\longrightarrow} Z_{2} \sim N\left(0, \frac{a^{2}}{18} \cdot \frac{9}{4} \cos ^{2} a\right)
\]
$$
\begin{aligned}
&\Leftrightarrow \sqrt{n}\left(\sin \left(\frac{3\left(X_{1}+\ldots+X_{n}\right)}{2 n}\right)-\theta\right) \overset{d_{\theta}}{\longrightarrow} Z_{2} \sim N\left(0, \frac{a^{2}}{18} \cdot \frac{9}{4} \cos ^{2} a\right)=N\left(0, \frac{\arcsin ^{2} \theta}{8}\left(1-\theta^{2}\right)\right)\\
&\text { То есть } \hat{\theta}_{n}(X)=\sin \left(\frac{3\left(X_{1}+\ldots+X_{n}\right)}{2 n}\right) \text { и ассимптотическая дисперсия оценки равна } \frac{\arcsin ^{2} \theta}{8}\left(1-\theta^{2}\right)\\
\end{aligned}
$$




\end{document}