Advertisement
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up,
it unlocks many cool features!
- \documentclass{article}
- \usepackage{blindtext}
- \usepackage[a4paper, total={6in, 9.4in}]{geometry}
- \usepackage{wrapfig}
- \usepackage{graphicx}
- \usepackage{mathtext}
- \usepackage{amsmath}
- \usepackage{siunitx} % Required for alignment
- \usepackage{subfigure}
- \usepackage{multirow}
- \usepackage{rotating}
- \usepackage{afterpage}
- \usepackage[T1,T2A]{fontenc}
- \usepackage[russian]{babel}
- \usepackage{caption}
- \usepackage[arrowdel]{physics}
- \usepackage{booktabs}
- \graphicspath{{pictures/}}
- % \title{\begin{center}Лабораторная работа №3.7.1\end{center}
- % Скин-эффект в полом цилиндре}
- % \author{Гёлецян А.Г.}
- % \date{\today}
- % \begin{document}
- % \pagenumbering{gobble}
- % \maketitle
- \begin{document}
- \begin{titlepage}
- \centering
- \vspace{5cm}
- {\scshape\LARGE Московский физико-технический институт \par}
- \vspace{4cm}
- {\scshape\Large Лабораторная работа \par}
- \vspace{1cm}
- {\huge\bfseries Скин-эффект в полом цилиндре \par}
- \vspace{1cm}
- \vfill
- \begin{flushright}
- {\large Б05-111}\par
- \vspace{0.3cm}
- {\LARGE Саушкин Денис \\ Коновалов Валентин}
- \end{flushright}
- \vfill
- % Bottom of the page
- Долгопрудный, 2022 г.
- \end{titlepage}
- \newpage
- \pagenumbering{arabic}
- \textbf{Цель работы:} Исследование проникновения переменного магнитного поля в медный полый цилиндр
- \section{Теоретическая часть}
- \subsection{Скин-эффект для полупрастранства}
- \vspace{1cm}
- \begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
- \begin{center}
- \includegraphics[width=0.28\textwidth]{poluprostranstvo}
- \end{center}
- \caption{Скин-эффект в полупространстве}\label{fig:poluprostranstvo}
- \end{wrapfigure}
- Рассмотрим квазистационарное поле внутри проводящей среды в простейшем плоском случае.
- Пусть вектор $\vb*{E}$ направлен всюду вдоль оси $y$ (рис.\ref{fig:poluprostranstvo})
- и зависит только от координаты $x$, т. е. ${E_x} = {E_z} \equiv 0$, $E_y=E_y(x,t)$.
- В квазистационарном приближении
- \begin{equation*}
- \grad \times \vb*{H} = \sigma \vb*{E}
- \end{equation*}
- Берем ротор обоих частей
- \begin{equation*}
- \grad \times (\grad \times \vb*{H}) = \grad(\grad \cdot \vb*{H}) - \grad^2\vb*{H} = \sigma \grad \times \vb*{E}
- \end{equation*}
- Испоьзуя ур-е Максвелла для ротора $\vb*{E}$ и для дивергенчии $\vb*{H}$ получаем
- \begin{equation}
- \grad^2 \vb*{H} = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial\vb*{H}}{\partial t}
- + \grad(\grad \cdot \vb*{H}) = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial\vb*{H}}{\partial t}
- \label{eq:laplacian_H}
- \end{equation}
- Берем ротор еще раз
- \begin{equation*}
- \grad \times (\grad^2\vb*{H}) = \grad^2 (\grad \times \vb*{H}) =
- \sigma\mu\mu_0 \frac{\partial (\grad \times \vb*{H})}{\partial t}
- \end{equation*}
- Осталось подставить первое ур-е, и воспользоватся уравнением Максвелла
- \begin{equation}
- \grad^2\vb*{E}=\sigma\mu\mu_0 \frac{\partial \vb*{E}}{\partial t}\label{eq:diffusion}
- \end{equation}
- Подставляем в (\ref{eq:diffusion}) наше электрическое поле $E_y=E_y(x,t)$
- \begin{equation}
- \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial E_y}{\partial t}
- \label{eq:diffusion_chastni}
- \end{equation}
- Если $E_y(0,t)=E_0 e^{i\omega t}$ то решением (\ref{eq:diffusion_chastni}) будет функция вида
- \begin{equation}
- E_y(x,t)=E_0 e^{-x/\delta} e^{i(\omega t - x/\delta)}
- \label{eq:skin_effect_poluprostranstvo}
- \end{equation}
- где
- \begin{equation}
- \delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\sigma\mu\mu_0}}
- \label{eq:delta}
- \end{equation}
- \newpage
- \subsection{Скин-эффект в тонокм полом цилиндре}
- Перейдем теперь к описанию теории в нашей работе. Из соображении симметрии и
- непрерывности соответствующих компонет векторов $\vb*{E}$ и $\vb*{H}$ можем сказать что
- \begin{equation*}
- H_z = H(r)e^{i\omega t} \text{, } E_\varphi = E(r)e^{i\omega t}
- \end{equation*}
- и при этом функции $H(r)$ и $E(r)$ непрерывны.
- Внутри цилиндра токов нет, следовательно $H(r)=H_1=\text{const}$ внутри цилиндра.
- По теореме об электромагнитной индукции
- \begin{equation*}
- E(r) = -\frac{1}{2}\mu_0 r \cdot i \omega H_1
- \end{equation*}
- откуда мы получаем граничное условие
- \begin{equation}
- E_1=E(a)= -\frac{1}{2}\mu_0 a \cdot i \omega H_1
- \label{eq:granichnoe_uslovie_E}
- \end{equation}
- В прближении $h \ll a$ можем пренебречь кривизной стенки и смоделировать
- его бесконечной полосой. Тогда, надо решить уравнение (\ref{eq:laplacian_H})
- с граничными условиями. Решая уравнение получим связь полей $H_1$
- (поле внутри цилиндра которое мы будем измерять) и $H_2$, которое колебается с частотой
- $\omega$
- \begin{equation}
- H_1 = \frac{H_0}{\ch(\alpha h) + \frac{1}{2} \alpha a \sh(\alpha h)}
- \text{\ \ \ }
- \alpha = \sqrt{i\omega \sigma \mu_0} = \frac{\sqrt{2}}{\delta}e^{i\pi/4}
- \label{eq:svyaz_poley}
- \end{equation}
- из этой формулы получим сколько по фазе отстает поле $H_1$ от $H_0$. При $\delta \ll h$
- (высокачастотная область)
- \begin{equation}
- \psi \approx \frac{\pi}{4} + \frac{h}{\delta} =
- \frac{\pi}{4} + h \sqrt{\frac{\omega \sigma \mu_0}{2}}
- \label{eq:faza_high_freq}
- \end{equation}
- При $\delta \gg h$ (низкочастотная область)
- \begin{equation}
- \tan \psi \approx \frac{ah}{\delta^2} = \pi a h \sigma \mu \mu_0 \nu
- \label{eq:faza_low_freq}
- \end{equation}
- \newpage
- Мангнитное поле внутри цилиндра измеряется катушкой 3. Напряжение на катушке
- пропорционалньна производной $\dot{B_1}(t)$
- \subsection{Процесс измерения}
- При измерениях разности фаз нужно учесть, что первый сигнал на осциллографе
- пропорционален магнитному полю снаружи, а второй пропорционален производному
- поля внутри цилиндра по времени. Вследствии этого набегает дополнительная фаза $\pi/2$,
- которую надо вычесть при измерениях.
- \begin{center}
- \includegraphics[scale=0.3]{ustanovka.png}
- \end{center}
- \newpage
- \section{Ход работы}
- Параметры нашей установки $2a = 45мм$, $h=1.5мм$. Проводимость порядка
- $\sigma \sim 5\cdot 10^7 См/м$. Получаем оценку для частоты, при которой
- глубина проникновения равна толщине стенок цилиндра $\nu_h = 2200 Гц$.
- \begin{table}[h]
- \begin{center}
- \begin{tabular}{|c|r|r|r|r|}
- \hline
- {$\nu, Гц$} & {$I, мА$} & {$U, мВ$} & {$\dfrac{1}{\xi} \cdot 10^{-5}$} & {$\nu^2 \cdot 10^{-5}, Гц^2$}\\
- \hline
- 20 & 470 & 148 & 0,04 & 0,39\\\hline
- 30 & 467,3 & 220 & 0, 09 & 0,40\\\hline
- 40 & 462,8 & 290 & 0,16 & 0,41\\\hline
- 50 & 457 & 357 & 0,25 & 0,42\\\hline
- 60 & 450 & 408 & 0,36 & 0,43\\\hline
- 80 & 440 & 441 & 0,64 & 0,48\\\hline
- 100 & 426 & 508 & 1,00 & 0,54\\\hline
- 130 & 405,8 & 671 & 1,69 & 0,63\\\hline
- 165 & 388,7 & 726 & 2,6 & 0,74\\\hline
- 180 & 381,9 & 750 & 3,24 & 0,84\\\hline
- 200 & 375,2 & 775 & 4,00 & 0,95\\\hline
- \end{tabular}
- \end{center}
- \caption{Данные измерений}
- \end{table}
- % \subsection{Измерение проводимости через отношение амплитуд}
- В области частот $\nu \ll \nu_h$ $\alpha h \ll 1$, и из (\ref{eq:svyaz_poley}) получаем
- \begin{equation*}
- {(c\xi)}^2 \approx \frac{1}{1+A\nu^2}
- \end{equation*}
- или, эквивалентно
- \begin{equation*}
- \frac{1}{\xi^2}=B\nu^2 + c^2 \text{ где } B=\pi a h \sigma \mu_0 c
- \label{eq:liniya_dlya_c}
- \end{equation*}
- \begin{figure}[h]
- \center{\includegraphics[width=\textwidth]{image2.png}}
- \caption{График зависимости $1/\xi^2(\nu^2)$}\label{fig:xi_nu_low_freq_linearized}
- \newpage
- \end{figure}
- Из графика получаем значение $c$, а так же проводимость меди $\sigma$
- \begin{equation}
- c=(71.2 \pm 0.03) \text{, } \sigma = (4.412 \pm 0.0061) \cdot 10^7 См/м
- \end{equation}
- \newpage
- \subsection{Измерение проводимости через разность фаз в низкочастотном диапазоне}
- \begin{table}[h]
- \begin{center}
- \begin{tabular}{|c|r|r|r|}
- \hline
- {$\tan(\psi)$} & {$\nu,кГц$} & {$\sqrt{\nu}$} & {$\psi, рад$} \\
- \hline
- 0 & 0,5 & 22,3 & 0\\\hline
- 0,151 & 1 & 31,6 & 0,15\\\hline
- 0,572 & 2,5 & 50 & 0,52\\\hline
- 0,744 & 3 & 54,8 & 0,64\\\hline
- 1,14 & 5 & 70,7 & 0,85\\\hline
- 1,63 & 7,5 & 86,7 & 1,02\\\hline
- 3,11 & 10 & 100 & 1,26\\\hline
- 7,60 & 12,5 & 112 & 1,44\\\hline
- 8,98 & 15 & 122,5 & 1,46\\\hline
- 1,34 & 20 & 141 & 0,93\\\hline
- 0,95 & 25 & 150 & 0,76\\\hline
- 0,223 & 30 & 173 & 0,22\\\hline
- 0,12 & 32 & 178,9 & 0,12\\\hline
- 0,06 & 34 & 184,5 & 0,06\\\hline
- \end{tabular}
- \end{center}
- \caption{Данные измерений}
- \end{table}
- При $\delta \gg h$
- \begin{equation*}
- \tan \psi = k \cdot \nu \ \text{; }\\ k = \pi a h \sigma \mu_0 \ \
- \end{equation*}
- \begin{figure}[h]
- \center{\includegraphics[width=\textwidth]{image1.png}}
- \caption{График зависимости $\psi (\nu)$ (линейная часть)}\label{fig:tg_psi_nu_line}
- \newpage
- \end{figure}
- \vspace{1cm}
- Из коэффициента наклона прямой находим проводимость при больших частотах
- \begin{equation}
- \sigma = (4.64 \pm 0.19) \cdot 10^7 См/м
- \end{equation}
- А при меньших частотах также из наклона получим
- \begin{equation}
- \sigma = (4.28 \pm 0.33) \cdot 10^7 См/м
- \end{equation}
- \subsection{Отношение магнитных полей}
- Отношение $\abs{H_1}/\abs{H_0}$ можем посчитать следующим образом. Первый - через
- формулу,использовав значение $c$ из пункта (2.1).
- Второй способ - через теоретическую формулу (\ref{eq:svyaz_poley}), использовав значение
- $\sigma$ из пункта (2.1). Посмотрим на их отношение на графике
- $\abs{H_1}/\abs{H_0} (\nu)$
- \begin{table}[!ht]
- \centering
- \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
- \hline
- H_1 / H_0 & 83,03 & 67,4 & 54,9 & 39,3 & 33,5 & 30,1 & 26,7 & 13,4 & 8,6 & 5,2 & 3,3 & 2 & 0,93 & 0,8 & 0,7 \\ \hline
- \nu, кГц & 0,11 & 0,189 & 0,26 & 0,40 & 0,476 & 0,54 & 0,61 & 1 & 2 & 3 & 5,1 & 7,5 & 12,6 & 17,3 & 21 \\ \hline
- \end{tabular}
- \end{table}
- \begin{figure}[h]
- \center{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{image.png}}
- \caption{График зависимости $\dfrac{H_1}{H_0}(\nu)$}
- \newpage
- \end{figure}
- \begin{figure}[h]
- \centering
- \includegraphics[scale=0.3]{логарифм.jpg}
- \caption{$\dfrac{H_1}{H_0}$ от $\ln \nu$}
- \end{figure}
- \section{Выводы}
- В данной работе мы исследовали скин-эффект, то есть проникновение электрического поля вглубь проводника, на примере медного цилиндра. В ходе эксперимента мы получили значение для проводимости меди, которая оказалась близка к истинному значению. Также мы понаблюдали за прочими зависимостями, в частности $\dfrac{H_1}{H_0}(\nu)$ и убедились, что они совпадают с тем, что следовало ожидать теоретически.
- \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement