Advertisement
den4ik2003

Untitled

Dec 9th, 2022
1,727
0
Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
Latex 13.56 KB | None | 0 0
  1.  
  2.  
  3. \documentclass{article}
  4. \usepackage{blindtext}
  5. \usepackage[a4paper, total={6in, 9.4in}]{geometry}
  6.  
  7. \usepackage{wrapfig}
  8. \usepackage{graphicx}
  9. \usepackage{mathtext}
  10. \usepackage{amsmath}
  11. \usepackage{siunitx} % Required for alignment
  12. \usepackage{subfigure}
  13. \usepackage{multirow}
  14. \usepackage{rotating}
  15. \usepackage{afterpage}
  16. \usepackage[T1,T2A]{fontenc}
  17. \usepackage[russian]{babel}
  18. \usepackage{caption}
  19. \usepackage[arrowdel]{physics}
  20. \usepackage{booktabs}
  21.  
  22. \graphicspath{{pictures/}}
  23.  
  24. % \title{\begin{center}Лабораторная работа №3.7.1\end{center}
  25. % Скин-эффект в полом цилиндре}
  26. % \author{Гёлецян А.Г.}
  27. % \date{\today}
  28.  
  29. % \begin{document}
  30.  
  31. % \pagenumbering{gobble}
  32. % \maketitle
  33. \begin{document}
  34.  
  35. \begin{titlepage}
  36.     \centering
  37.     \vspace{5cm}
  38.     {\scshape\LARGE Московский физико-технический институт \par}
  39.     \vspace{4cm}
  40.     {\scshape\Large Лабораторная работа \par}
  41.     \vspace{1cm}
  42.     {\huge\bfseries Скин-эффект в полом цилиндре \par}
  43.     \vspace{1cm}
  44.     \vfill
  45. \begin{flushright}
  46.     {\large Б05-111}\par
  47.     \vspace{0.3cm}
  48.     {\LARGE Саушкин Денис \\ Коновалов Валентин}
  49. \end{flushright}
  50.    
  51.  
  52.     \vfill
  53.  
  54. % Bottom of the page
  55.     Долгопрудный, 2022 г.
  56. \end{titlepage}
  57. \newpage
  58. \pagenumbering{arabic}
  59.  
  60. \textbf{Цель работы:} Исследование проникновения переменного магнитного поля в медный полый цилиндр
  61.  
  62. \section{Теоретическая часть}
  63. \subsection{Скин-эффект для полупрастранства}
  64. \vspace{1cm}
  65. \begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
  66.  \begin{center}
  67.    \includegraphics[width=0.28\textwidth]{poluprostranstvo}
  68.  \end{center}
  69.  \caption{Скин-эффект в полупространстве}\label{fig:poluprostranstvo}
  70. \end{wrapfigure}
  71.  
  72. Рассмотрим квазистационарное поле внутри проводящей среды в простейшем плоском случае.
  73. Пусть вектор $\vb*{E}$ направлен всюду вдоль оси $y$ (рис.\ref{fig:poluprostranstvo})
  74. и зависит только от координаты $x$, т. е. ${E_x} = {E_z} \equiv 0$, $E_y=E_y(x,t)$.
  75. В квазистационарном приближении
  76. \begin{equation*}
  77.    \grad \times \vb*{H} = \sigma \vb*{E}
  78. \end{equation*}
  79. Берем ротор обоих частей
  80. \begin{equation*}
  81.    \grad \times (\grad \times \vb*{H}) = \grad(\grad \cdot \vb*{H}) - \grad^2\vb*{H} = \sigma \grad \times \vb*{E}
  82. \end{equation*}
  83. Испоьзуя ур-е Максвелла для ротора $\vb*{E}$ и для дивергенчии $\vb*{H}$ получаем
  84. \begin{equation}
  85.    \grad^2 \vb*{H} = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial\vb*{H}}{\partial t}
  86.                      + \grad(\grad \cdot \vb*{H}) = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial\vb*{H}}{\partial t}
  87.    \label{eq:laplacian_H}
  88. \end{equation}
  89. Берем ротор еще раз
  90. \begin{equation*}
  91.    \grad \times (\grad^2\vb*{H}) = \grad^2 (\grad \times \vb*{H}) =
  92.    \sigma\mu\mu_0 \frac{\partial (\grad \times \vb*{H})}{\partial t}
  93. \end{equation*}
  94. Осталось подставить первое ур-е, и воспользоватся уравнением Максвелла
  95. \begin{equation}
  96.    \grad^2\vb*{E}=\sigma\mu\mu_0 \frac{\partial \vb*{E}}{\partial t}\label{eq:diffusion}
  97. \end{equation}
  98.  
  99. Подставляем в (\ref{eq:diffusion}) наше электрическое поле $E_y=E_y(x,t)$
  100. \begin{equation}
  101.    \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial E_y}{\partial t}
  102.    \label{eq:diffusion_chastni}
  103. \end{equation}
  104. Если $E_y(0,t)=E_0 e^{i\omega t}$ то решением (\ref{eq:diffusion_chastni}) будет функция вида
  105. \begin{equation}
  106.    E_y(x,t)=E_0 e^{-x/\delta} e^{i(\omega t - x/\delta)}
  107.    \label{eq:skin_effect_poluprostranstvo}
  108. \end{equation}
  109. где
  110. \begin{equation}
  111.    \delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\sigma\mu\mu_0}}
  112.    \label{eq:delta}
  113. \end{equation}
  114.  
  115. \newpage
  116. \subsection{Скин-эффект в тонокм полом цилиндре}
  117.  
  118.  
  119. Перейдем теперь к описанию теории в нашей работе. Из соображении симметрии и
  120. непрерывности соответствующих компонет векторов $\vb*{E}$ и $\vb*{H}$ можем сказать что
  121. \begin{equation*}
  122.    H_z = H(r)e^{i\omega t} \text{, } E_\varphi = E(r)e^{i\omega t}
  123. \end{equation*}
  124. и при этом функции $H(r)$ и $E(r)$ непрерывны.
  125.  
  126. Внутри цилиндра токов нет, следовательно $H(r)=H_1=\text{const}$ внутри цилиндра.
  127. По теореме об электромагнитной индукции
  128. \begin{equation*}
  129.    E(r) = -\frac{1}{2}\mu_0 r \cdot i \omega H_1
  130. \end{equation*}
  131. откуда мы получаем граничное условие
  132. \begin{equation}
  133.    E_1=E(a)= -\frac{1}{2}\mu_0 a \cdot i \omega H_1
  134.    \label{eq:granichnoe_uslovie_E}
  135. \end{equation}
  136.  
  137. В прближении $h \ll a$ можем пренебречь кривизной стенки и смоделировать
  138. его бесконечной полосой. Тогда, надо решить уравнение (\ref{eq:laplacian_H})
  139. с граничными условиями. Решая уравнение получим связь полей $H_1$
  140. (поле внутри цилиндра которое мы будем измерять) и $H_2$, которое колебается с частотой
  141. $\omega$
  142.  
  143. \begin{equation}
  144.    H_1 = \frac{H_0}{\ch(\alpha h) + \frac{1}{2} \alpha a \sh(\alpha h)}
  145.    \text{\ \ \ }
  146.    \alpha = \sqrt{i\omega \sigma \mu_0} = \frac{\sqrt{2}}{\delta}e^{i\pi/4}
  147.    \label{eq:svyaz_poley}
  148. \end{equation}
  149.  
  150. из этой формулы получим сколько по фазе отстает поле $H_1$ от $H_0$. При $\delta \ll h$
  151. (высокачастотная область)
  152.  
  153. \begin{equation}
  154.    \psi \approx \frac{\pi}{4} + \frac{h}{\delta} =
  155.    \frac{\pi}{4} + h \sqrt{\frac{\omega \sigma \mu_0}{2}}
  156.    \label{eq:faza_high_freq}
  157. \end{equation}
  158.  
  159. При $\delta \gg h$ (низкочастотная область)
  160.  
  161. \begin{equation}
  162.    \tan \psi \approx \frac{ah}{\delta^2} = \pi a h \sigma \mu \mu_0 \nu
  163.    \label{eq:faza_low_freq}
  164. \end{equation}
  165. \newpage
  166. Мангнитное поле внутри цилиндра измеряется катушкой 3. Напряжение на катушке
  167. пропорционалньна производной $\dot{B_1}(t)$
  168. \subsection{Процесс измерения}
  169.  
  170.  
  171. При измерениях разности фаз нужно учесть, что первый сигнал на осциллографе
  172. пропорционален магнитному полю снаружи, а второй пропорционален производному
  173. поля внутри цилиндра по времени. Вследствии этого набегает дополнительная фаза $\pi/2$,
  174. которую надо вычесть при измерениях.
  175.  
  176. \begin{center}
  177. \includegraphics[scale=0.3]{ustanovka.png}
  178. \end{center}
  179. \newpage
  180. \section{Ход работы}
  181.  
  182. Параметры нашей установки $2a = 45мм$, $h=1.5мм$. Проводимость порядка
  183. $\sigma \sim 5\cdot 10^7 См/м$. Получаем оценку для частоты, при которой
  184. глубина проникновения равна толщине стенок цилиндра $\nu_h = 2200 Гц$.
  185.  
  186. \begin{table}[h]
  187.        \begin{center}
  188.            \begin{tabular}{|c|r|r|r|r|}
  189.                \hline
  190.                {$\nu, Гц$} &   {$I, мА$} & {$U, мВ$} & {$\dfrac{1}{\xi} \cdot 10^{-5}$} & {$\nu^2 \cdot 10^{-5}, Гц^2$}\\
  191.                \hline
  192.                20 &   470 &    148  & 0,04 & 0,39\\\hline
  193.                30 &   467,3 &    220 & 0, 09 & 0,40\\\hline
  194.                40 &   462,8 &    290 & 0,16 & 0,41\\\hline
  195.                50 &   457 &   357 & 0,25 & 0,42\\\hline
  196.                60 &  450 &   408 & 0,36 & 0,43\\\hline
  197.                80 & 440 & 441 & 0,64 & 0,48\\\hline
  198.                100 & 426 & 508 & 1,00 & 0,54\\\hline
  199.                130 &   405,8 &   671 & 1,69 & 0,63\\\hline
  200.                165 &   388,7 &    726  & 2,6 & 0,74\\\hline
  201.                180 &   381,9 &    750  & 3,24 & 0,84\\\hline
  202.                200 &   375,2 &    775  & 4,00 & 0,95\\\hline
  203.            \end{tabular}
  204.        \end{center}
  205.        \caption{Данные измерений}
  206.    \end{table}
  207.    
  208. % \subsection{Измерение проводимости через отношение амплитуд}
  209. В области частот $\nu \ll \nu_h$ $\alpha h \ll 1$, и из (\ref{eq:svyaz_poley}) получаем
  210. \begin{equation*}
  211.    {(c\xi)}^2 \approx \frac{1}{1+A\nu^2}
  212. \end{equation*}
  213. или, эквивалентно
  214. \begin{equation*}
  215.    \frac{1}{\xi^2}=B\nu^2 + c^2 \text{ где } B=\pi a h \sigma \mu_0 c
  216.    \label{eq:liniya_dlya_c}
  217. \end{equation*}
  218.  
  219. \begin{figure}[h]
  220.    \center{\includegraphics[width=\textwidth]{image2.png}}
  221.    \caption{График зависимости $1/\xi^2(\nu^2)$}\label{fig:xi_nu_low_freq_linearized}
  222.    \newpage
  223. \end{figure}
  224.  
  225. Из графика получаем значение $c$, а так же проводимость меди $\sigma$
  226. \begin{equation}
  227.    c=(71.2 \pm 0.03) \text{, } \sigma = (4.412 \pm 0.0061) \cdot 10^7 См/м
  228. \end{equation}
  229.  
  230. \newpage
  231.  
  232. \subsection{Измерение проводимости через разность фаз в низкочастотном диапазоне}
  233. \begin{table}[h]
  234.        \begin{center}
  235.            \begin{tabular}{|c|r|r|r|}
  236.                \hline
  237.                {$\tan(\psi)$} &   {$\nu,кГц$} & {$\sqrt{\nu}$} & {$\psi, рад$} \\
  238.                \hline
  239.                0 &   0,5 &    22,3 & 0\\\hline
  240.                0,151 &   1 &    31,6 & 0,15\\\hline
  241.                0,572 &   2,5 &    50 & 0,52\\\hline
  242.                0,744 &   3 &   54,8 & 0,64\\\hline
  243.                1,14 &  5 &   70,7 & 0,85\\\hline
  244.                1,63 & 7,5 & 86,7 & 1,02\\\hline
  245.                3,11 & 10 & 100 & 1,26\\\hline
  246.                7,60 &   12,5 &   112 & 1,44\\\hline
  247.                8,98 &   15 &    122,5 & 1,46\\\hline
  248.                1,34 &   20 &    141 & 0,93\\\hline
  249.                0,95 &   25 &    150 & 0,76\\\hline
  250.                0,223 & 30 & 173 & 0,22\\\hline
  251.                0,12 & 32 & 178,9 & 0,12\\\hline
  252.                0,06 & 34 & 184,5 & 0,06\\\hline
  253.            \end{tabular}
  254.        \end{center}
  255.        \caption{Данные измерений}
  256.    \end{table}
  257. При $\delta \gg h$
  258. \begin{equation*}
  259.    \tan \psi = k \cdot \nu \ \text{; }\\ k = \pi a h \sigma \mu_0 \ \
  260. \end{equation*}
  261.  
  262. \begin{figure}[h]
  263.    \center{\includegraphics[width=\textwidth]{image1.png}}
  264.    \caption{График зависимости $\psi (\nu)$ (линейная часть)}\label{fig:tg_psi_nu_line}
  265.    \newpage
  266. \end{figure}
  267.  
  268. \vspace{1cm}
  269. Из коэффициента наклона прямой находим проводимость при больших частотах
  270. \begin{equation}
  271.    \sigma = (4.64 \pm 0.19) \cdot 10^7 См/м
  272. \end{equation}
  273.  
  274. А при меньших частотах также из наклона получим
  275. \begin{equation}
  276.    \sigma = (4.28 \pm 0.33) \cdot 10^7 См/м
  277. \end{equation}
  278.  
  279. \subsection{Отношение магнитных полей}
  280. Отношение $\abs{H_1}/\abs{H_0}$ можем посчитать следующим образом. Первый - через
  281. формулу,использовав значение $c$ из пункта (2.1).
  282. Второй способ - через теоретическую формулу (\ref{eq:svyaz_poley}), использовав значение
  283. $\sigma$ из пункта (2.1). Посмотрим на их отношение на графике
  284. $\abs{H_1}/\abs{H_0} (\nu)$
  285.  
  286. \begin{table}[!ht]
  287.    \centering
  288.    \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
  289.    \hline
  290.        H_1 / H_0 & 83,03 & 67,4 & 54,9 & 39,3 & 33,5 & 30,1 & 26,7 & 13,4 & 8,6 & 5,2 & 3,3 & 2 & 0,93 & 0,8 & 0,7 \\ \hline
  291.        \nu, кГц & 0,11 & 0,189 & 0,26 & 0,40 & 0,476 & 0,54 & 0,61 & 1 & 2 & 3 & 5,1 & 7,5 & 12,6 & 17,3 & 21 \\ \hline
  292.    \end{tabular}
  293. \end{table}
  294.  
  295. \begin{figure}[h]
  296.    \center{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{image.png}}
  297.    \caption{График зависимости $\dfrac{H_1}{H_0}(\nu)$}
  298.    \newpage
  299. \end{figure}
  300.  
  301. \begin{figure}[h]
  302. \centering
  303. \includegraphics[scale=0.3]{логарифм.jpg}
  304. \caption{$\dfrac{H_1}{H_0}$ от $\ln \nu$}
  305. \end{figure}
  306.  
  307. \section{Выводы}
  308. В данной работе мы исследовали скин-эффект, то есть проникновение электрического поля вглубь проводника, на примере медного цилиндра. В ходе эксперимента мы получили значение для проводимости меди, которая оказалась близка к истинному значению. Также мы понаблюдали за прочими зависимостями, в частности $\dfrac{H_1}{H_0}(\nu)$ и убедились, что они совпадают с тем, что следовало ожидать теоретически.
  309. \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement