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juaniisuar

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juaniisuar
Jun 20th, 2018
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  1. \documentclass[12pt]{article}
  2. \usepackage[utf8]{inputenc}
  3. \usepackage[spanish]{babel}
  4. \usepackage[pdftex]{graphicx}
  5. \usepackage{float}
  6. \usepackage{booktabs}
  7. \usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
  8. \usepackage{ltxtable}
  9. \usepackage{listings}
  10. \lstset{language=Haskell}
  11. \usepackage{color}
  12. \begin{document}
  13. \begin{titlepage}
  14.  
  15. \begin{minipage}{2.6cm}
  16. \includegraphics[width=\textwidth]{fceia.pdf}
  17. \end{minipage}
  18. \hfill
  19. %
  20. \begin{minipage}{6cm}
  21. \begin{center}
  22. \normalsize{Universidad Nacional de Rosario\\
  23. Facultad de Ciencias Exactas,\\
  24. Ingeniería y Agrimensura\\}
  25. \end{center}
  26. \end{minipage}
  27. \hspace{0.5cm}
  28. \hfill
  29. \begin{minipage}{2.6cm}
  30. \includegraphics[width=\textwidth]{unr.pdf}
  31. \end{minipage}
  32.  
  33. \vspace{0.5cm}
  34.  
  35. \begin{center}
  36. \normalsize{\sc Estructuras de Datos II}\\
  37. \vspace{0.5cm}
  38. \large{Trabajo Práctico II}\\
  39.  
  40. \Large{\bf Secuencias}\\
  41. \vspace{5cm}
  42.  
  43. \normalsize
  44. Román Castellarin\\
  45. Juan Ignacio Suarez\\
  46.  
  47. \vspace*{0.5cm}
  48. \small{ \today }
  49.  
  50.  
  51. \end{center}
  52. \end{titlepage}
  53. \newpage
  54.  
  55. \section{Implementacion basada en Arrays Persistentes}
  56.  
  57. \begin{tabular}{@{}lcc@{}}
  58. \toprule
  59. & W & S \\ \midrule
  60. filterS p x & $O(|x| + \sum\limits_{i=0}^{|x|-1} W[p\ x_i])$ & $(\log |x| + \max\limits_{i=0}^{|x|-1} S[p\ x_i])$ \\
  61. reduceS f e s & $ O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$ & $ O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$ \\
  62. scanS & $O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_s(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$ & $O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_s(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$ \\
  63. showtS & $O(1)$ & $O(1)$ \\ \bottomrule
  64. \end{tabular}
  65.  
  66. \subsection{filterA es $O(|x| + \sum\limits_{i=0}^{|x|-1} W[p\ x_i])$ en trabajo.\\ y $O(\log |x| + \max\limits_{i=0}^{|x|-1} S[p\ x_i])$ en profundidad.}
  67. \begin{table}[h]
  68. \begin{lstlisting}
  69. filterA p x = A.flatten (mapA g x)
  70. where g y = if p y then singletonA y else emptyA
  71. \end{lstlisting}
  72. \caption{Definicion de filterA}
  73. \end{table}
  74. \begin{table}[h]
  75. \begin{lstlisting}
  76. emptyA = A.fromList []
  77. singletonA x = A.fromList [x]
  78. mapA f x = A.tabulate g (A.length x)
  79. where g n = f (x ! n)
  80. \end{lstlisting}
  81. \caption{Definicion de emptyA, singletonA y mapA}
  82. \end{table}
  83. \begin{itemize}
  84. \item \textbf{Lema:} \texttt{singletonA} y \texttt{emptyA} son $O(1)$ en trabajo y profundidad.
  85.  
  86. \textit{Dem:} Ambas hacen una cantidad constante de operaciones independientemente de la entrada.
  87.  
  88. \item \textbf{Lema:} \texttt{mapA f s} es $O( \sum\limits_{i=0}^{|s|-1} W[f\ s_i] )$ en trabajo y $O( \max\limits_{i=0}^{|s|-1} S[f\ s_i] )$ en profundidad.
  89.  
  90. \textit{Dem:} Se desprende como corolario de las cotas de \texttt{tabulate g n} con $g\ i = f\ s_i$ y $n=|s|$.
  91.  
  92. \end{itemize}
  93.  
  94. Concentremonos en la definicion de \texttt{filterA} presentada arriba:
  95. \begin{itemize}
  96. \item Del primer lema, resulta que $W[g\ y]\in O(W[p\ y])$ y $S[g\ y]\in O(S[p\ y])$.
  97. \item Del segundo lema, resulta que \texttt{map\ g\ x} es $O(\sum\limits_{i=0}^{|x|-1} W[p\ x_i])$ en trabajo y $O(\max\limits_{i=0}^{|x|-1} S[p\ x_i])$ en profundidad.
  98. \item Es necesario calcular primero \texttt{map\ g\ x} para luego aplicar el \texttt{flatten}, por lo que las profundidades y trabajos se suman ya que no se realizan en paralelo.
  99. \item Tenemos entonces por la especificacion dada de \texttt{flatten} que \texttt{filter\ p\ x} es $O(|x| + \sum\limits_{i=0}^{|x|-1} W[p\ x_i])$ en trabajo ya que $|g\ y| \in O(1)$, mientras que en profundidad es $O(\log |x| + \max\limits_{i=0}^{|x|-1} S[p\ x_i])$.
  100. \end{itemize}
  101.  
  102.  
  103. \subsection{reduceA es $O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$ en trabajo,\\
  104. y $ O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$ en profundidad.}
  105.  
  106. Utilizaremos $\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)$ para denotar el conjunto de aplicaciones de $\oplus$ al invocar \texttt{reduceA $\oplus$ e s}. Notemos que para reducir una secuencia de largo $n$ por aplicacion repetida de $\oplus$ (en cualquier orden) hacen falta $n-1$ aplicaciones, por lo que cardinalidad de este conjunto es $O(|s|)$.
  107.  
  108. Para el analisis general de costo, supondremos primero que $W[x \oplus y]$ es $O(1)$, y luego deduciremos el caso general.
  109.  
  110. \begin{table}[h!]
  111. \begin{lstlisting}
  112. reduceA f e s = case A.length s of
  113. 0 -> e
  114. _ -> f e (reduceByContraction f s)
  115. where reduceByContraction f s = case A.length s of
  116. 1 -> s ! 0
  117. _ -> reduceByContraction f (contractA f s)
  118. \end{lstlisting}
  119. \caption{Definicion de reduceA}
  120. \end{table}
  121.  
  122. \begin{table}[h!]
  123. \begin{lstlisting}
  124. contractA f s | n == 1 = s
  125. | even n = A.tabulate g (n//2)
  126. | otherwise = A.tabulate g' (n//2 + 1)
  127. where n = A.length s
  128. g i = f (s ! (2*i)) (s ! (2*i + 1))
  129. g' i = if i == (n//2) then s ! (2*i) else g i
  130. \end{lstlisting}
  131. \caption{Definicion de contractA}
  132. \end{table}
  133.  
  134. \begin{itemize}
  135. \item \textbf{Lema:} Para $W_\oplus,S_\oplus \in O(1)$, \texttt{contractA $\oplus$ s} es $O(|s|)$ en trabajo y $O(1)$ en profundidad:
  136.  
  137. \textit{Dem:} Corolario de las cotas de \texttt{tabulate g n} con $g\ i = s_{2i}\oplus s_{2i+1}$ y $n\in O(|s|)$.
  138. \end{itemize}
  139. \begin{itemize}
  140. \item Veamos que como \texttt{contract} reduce la longitud de la secuencia en un factor de $1/2$, \texttt{reduceByContraction} solo recursa $O(\log |s|)$ veces, y por lo tanto (usando el lema anterior) resulta $O(\log |s|)$ en profundidad.\\
  141. En simbolos: $S(n) = S(n/2) + O(1) \Rightarrow S \in O(\log n)$
  142.  
  143. \item Para el trabajo, (usando el lema anterior) veamos que obtenemos una serie geometrica, por lo que resulta $O(|s|)$.\\
  144. En simbolos: $W(n) = W(n/2) + O(n) \Rightarrow S \in O(n)$
  145. \end{itemize}
  146. Para una especificacion de costos general, notemos que solo debemos agregarle al trabajo obtenido, el trabajo de cada operacion ($x\oplus y$) hecho, y la profundidad no puede empeorar mas que en un factor $\max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y]$.
  147.  
  148. Por lo que finalmente obtenemos:
  149. $$O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$$ en trabajo, y
  150.  
  151. $$ O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$$ en profundidad.
  152.  
  153. \subsubsection{scanA es $O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_s(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$ en trabajo,\\
  154. y $ O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_s(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$ en profundidad.}
  155.  
  156.  
  157.  
  158. \begin{table}[h]
  159. \begin{lstlisting}
  160. scanA f e s = (scan_seq, scan_last)
  161. where (scan_seq, scan_last) = (scanA' f e s) ||| (reduceA f e s)
  162. scanA' f e s = case A.length s of
  163. 0 -> emptyA
  164. 1 -> singletonA e
  165. n -> tabulateA g n
  166. where s' = scanA' f e (contractA f s)
  167. g i | even i = s' ! (i//2)
  168. | otherwise = f (s' ! (i//2)) (s ! (i-1))
  169. \end{lstlisting}
  170. \caption{Definicion de scanA}
  171. \end{table}
  172.  
  173. Analogamente a como hicimos para el analisis de reduceA, supondremos primero que $\oplus$ es $O(1)$ en trabajo y profundidad, y consideraremos el conjunto $\mathcal{O}_s(\oplus,e,s)$ de aplicaciones de $\oplus$ al invocar \texttt{scanS $\oplus$ e s}.
  174.  
  175. \begin{itemize}
  176. \item \textbf{Lema:} Para $W_\oplus,S_\oplus \in O(1)$, \texttt{scanA' $\oplus$ e s} es $O(|s|)$ en trabajo y $O(\log |s|)$ en profundidad.
  177.  
  178. \textit{Dem:} De manera similar al analisis de reduceA, vemos que la recurrencia para el trabajo es $W(n) = W(n/2) + O(n)$, donde el $O(n)$ viene del trabajo de \texttt{tabulateA} y \texttt{contractA}, y el $W(n/2)$ del trabajo de la llamada recursiva (contractA reduce en un factor de 1/2 la secuencia). De donde el trabajo resulta $O(|s|)$. De la misma forma, la recurrencia para la profundidad es $S(n) = S(n/2) + O(1)$ donde el $O(1)$ viene de la profundidad de \texttt{contractA} y \texttt{tabulateA}, ambas $O(1)$. Resulta asi una profundidad de $O(\log |s|)$
  179. \end{itemize}
  180.  
  181. Realicemos ahora un analisis general de costos.
  182.  
  183. \begin{itemize}
  184. \item Veamos que \texttt{scanA} consiste esencialmente de dos llamadas en paralelo, una a \texttt{scanA'} y otra a \texttt{reduceA}.
  185.  
  186. \item Es muy importante notar que por esta razon, $\mathcal{O}_r(\oplus,e,s) \subseteq \mathcal{O}_s(\oplus,e,s)$
  187.  
  188. \item Por lo ya demostrado arriba, el trabajo de \texttt{scanA} queda $O(W[scanA'] + W[reduceA]) =$ $$O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_s(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$$
  189.  
  190. \item Para la profundidad, obtenemos $O(\max (S[scanA'], S[reduceA])) = $ $$O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_s(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$$
  191. \end{itemize}
  192. \subsubsection{showtA es $O(1)$ en trabajo y profundidad.}
  193.  
  194. \begin{table}[h]
  195. \begin{lstlisting}
  196. showtA x | n == 0 = EMPTY
  197. | n == 1 = ELT (x ! 0)
  198. | otherwise = NODE (takeA x m) (dropA x m)
  199. where n = A.length x
  200. m = n//2
  201. \end{lstlisting}
  202. \caption{Definicion de showtA}
  203. \end{table}
  204.  
  205. \begin{itemize}
  206. \item \textbf{Lema:} \texttt{takeA, dropA} son $O(1)$ en trabajo y profundidad.
  207.  
  208. \textit{Dem:} Corolario de las cotas de \texttt{subArray}.
  209.  
  210. \end{itemize}
  211.  
  212. \texttt{showtA} realiza una cantidad constante de operaciones ya que no recursa e invoca funciones que realizan trabajo y profundidad constante.
  213.  
  214. \section{Implementacion basada en Listas}
  215.  
  216. \begin{tabular}{@{}lcc@{}}
  217. \toprule
  218. & W & S \\
  219. \midrule
  220. filterS & $O(|s| + \sum\limits_{i=0}^{|s|-1} W[f\ s_i])$ & $O(|s| + \max\limits_{i} S[f\ s_i] )$ \\
  221. showtS & $O(|s|)$ & $O(|s|)$ \\
  222. reduceS & $O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$ & $O(|s| + \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$ \\
  223. scanS & $O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$ & $O(|s| + \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$ \\
  224. \bottomrule
  225. \end{tabular}
  226.  
  227.  
  228. \subsection{filterL es $O(|s| + \sum\limits_{i=0}^{|s|-1} W[f\ s_i])$ en trabajo, y $O(|s| + \max\limits_{i} S[f\ s_i] )$ prof.}
  229.  
  230. \begin{table}[h]
  231. \begin{lstlisting}
  232. filterL f [] = []
  233. filterL f (x:xs) =
  234. let (x',xs') =
  235. (if f x then [x] else []) ||| (filterL f xs)
  236. in x'++xs'
  237. \end{lstlisting}
  238. \caption{Definicion de filterL}
  239. \end{table}
  240. \begin{itemize}
  241.  
  242. \item \textbf{Trabajo de filterL:}
  243.  
  244. Teniendo como segundo argumento el largo de la secuencia $s$:
  245.  
  246. $$ W_{filterL}(f, 0) = c_0 $$
  247. $$ W_{filterL}(f, n) = 1 + ( 1 + W(if\ f\ s_0\ then\ [x]\ else\ []) + W_{filterL}(f, n-1) ) + W(x'++xs') = $$
  248.  
  249. Como el costo de 'if' es constante (además de construir el resultado), vemos rápidamente que el costo de esta primer expresión es $W(f\ s_0) + k$.
  250. Además, siendo $x'$ la asignación de este resultado, vemos que $x'++xs'$ también será de costo constante pues $x'$ será $[]$ o $[x]$ y la función $++$ depende del tamaño del primer argumento. Siguiendo:
  251.  
  252. $$ = c_1 + W(f\ s_0) + W_{filterL}(f, n-1) = ... = \sum\limits_{i=0}^{n-1} c_i + \sum\limits_{i=0}^{n-1} W[f\ s_i] $$
  253.  
  254. Donde se desprende $\sum\limits_{i=0}^{n-1} c_i$ de orden lineal más la sumatoria de costos de $f$ en los valores de la secuencia. Es decir:
  255.  
  256. $$ W_{filterL} \in O(n + \sum\limits_{i=0}^{n-1} W[f\ s_i] ) = O(|s| + \sum\limits_{i=0}^{|s|-1} W[f\ s_i]) $$
  257.  
  258. \item \textbf{Profundidad de filterL:}
  259.  
  260. Similar a como analizamos el trabajo, tenemos:
  261.  
  262. $$ S_{filterL}(f, 0) = c_0 $$
  263. $$ S_{filterL}(f, n) = 1 + ( 1 + max\{ S(if\ f\ s_0\ then\ [x]\ else\ []), S_{filterL}(f, n-1)\} ) + S(x'++xs') = $$
  264.  
  265. Así como sucedía con el costo también sucede con la profundidad, en el caso del 'if' también tenemos $S(f\ s_0) + k$ y la profundidad de $++$ seguirá siendo constante. Siguiendo:
  266.  
  267. $$ = c_1 + max\{ S(f\ s_0), S_{filterL}(f, n-1) \} = $$
  268. $$ = c_1 + max\{ S(f\ s_0), c_2 + max\{S(f\ s_1), S_{filterL}(f, n-2) \} \} \ (1) $$
  269.  
  270. Sea $S_f$ tal que $S_f = \max\limits_{0<=i<n} S(f\ s_i)$.
  271. Volviendo a $(1)$, reemplazando con $S_f$ nos queda:
  272.  
  273. $$ (1) \leq $$
  274. $$ c_1 + max\{ S_f, c_2 + max\{S_f, S_{filterL}(f, n-2) \} \} \leq $$
  275. $$ c_1 + max\{ S_f, c_2 + max\{S_f, ... max\{ S_f, c_0 \} ... \} \} = $$
  276.  
  277. Considerando el peor caso $c_0 < S_f$, esto resulta en:
  278.  
  279. $$ = \sum\limits_{i=0}^{n-1} c_i + S_f $$
  280.  
  281. Nuevamente se desprende de la primer sumatoria un orden lineal, sumado a $S_f$, el cual por definición era el máximo $S(f\ s_i)$ para algún $i$. Por lo tanto:
  282.  
  283. $$ S_{filterL} \in O(n + \max\limits_{i} S[f\ s_i] ) = O(|s| + \max\limits_{i} S[f\ s_i] ) $$
  284.  
  285. \end{itemize}
  286.  
  287.  
  288. \subsection{showtL es $O(|s|)$ en trabajo, y $O(|s|)$ prof.}
  289.  
  290. \begin{table}[h]
  291. \begin{lstlisting}
  292. showtL [] = EMPTY
  293. showtL [x] = ELT x
  294. showtL s = let mid = div (lengthL s) 2
  295. (l,r) = (takeL s mid) ||| (dropL s mid)
  296. in NODE l r
  297. \end{lstlisting}
  298. \caption{Definicion de showtL}
  299. \end{table}
  300.  
  301. \begin{itemize}
  302.  
  303. \item \textbf{Lema:} \texttt{takeL y dropL} son $O(|s|)$ en trabajo y $O(|s|)$ en profundidad.
  304.  
  305. \textit{Dem:} Se desprende de la definción $takeL\ s\ n = take\ n\ s$, $dropL\ s\ n = drop\ n\ s$, y la documentación oficial de las mismas.
  306.  
  307. \item \textbf{Trabajo y profundidad de showtL:}
  308.  
  309. Notar que EMPTY y ELT son constructores de TreeView, por lo que tienen trabajo y profundidad constante. Resulta instantáneo el análisis del trabajo:
  310.  
  311. $$ W_{showtL}(0) = c_0 $$
  312. $$ W_{showtL}(1) = c_1 $$
  313. $$ W_{showtL}(n) = 1 + W_{takeL}(n/2) + W_{dropL}(n/2) $$
  314. $$ W_{showtL}(n) = c_2 + W_{takeL}(n/2) + W_{dropL}(n/2) $$
  315.  
  316. Donde teníamos $W_{takeL} \in O(|s|)$ y $W_{dropL} \in O(|s|)$, por lo tanto:\\
  317.  
  318. $$ W_{showtL} \in O(|s|) $$
  319.  
  320. \item \textbf{Profundidad de showtL:}
  321.  
  322. De forma análoga al análisis anterior:
  323.  
  324. $$ S_{showtL}(0) = c_0 $$
  325. $$ S_{showtL}(1) = c_1 $$
  326. $$ S_{showtL}(n) = 1 + max\{ S_{takeL}(n/2), W_{dropL}(n/2) \} $$
  327. $$ S_{showtL}(n) = c_2 + max\{ S_{takeL}(n/2), W_{dropL}(n/2) \} $$
  328.  
  329. Donde tenemos $S_{takeL} \in O(|s|)$ y $S_{dropL} \in O(|s|) \Rightarrow max\{ S_{takeL}(n/2), W_{dropL}(n/2) \} \in O(|s|)$ Luego:
  330.  
  331. $$ S_{showtL} \in O(|s|) $$
  332.  
  333. \end{itemize}
  334.  
  335.  
  336. \subsection{reduceL es $O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$ en trabajo, y $O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$ prof.}
  337.  
  338. \begin{table}[h]
  339. \begin{lstlisting}
  340. reduceL f e [] = e
  341. reduceL f e [x] = f e x
  342. reduceL f e s = reduceL f e (contractL f s)
  343.  
  344. contractL f [] = []
  345. contractL f [x] = [x]
  346. contractL f (x:y:xs) = let (x',xs') = f x y ||| contractL f xs
  347. in x':xs'
  348. \end{lstlisting}
  349. \caption{Definicion de reduceL y contractL}
  350. \end{table}
  351.  
  352. \begin{itemize}
  353.  
  354. \item \textbf{Lema:} \texttt{contractL} es $O(|s| + \sum\limits_{i=0}^{|s|/2} W[s_{2i} \oplus s_{2i+1}])$ en trabajo y $O(|s| + \max\limits_{0 \leq i \leq |s|/2} S[s_{2i} \oplus s_{2i+1}])$ en prof.
  355.  
  356. \textit{Dem:}
  357. De la definición de contractL:
  358.  
  359. $$ W_{contractL}(\oplus, 0) = c_0 $$
  360. $$ W_{contractL}(\oplus, 1) = c_1 $$
  361. $$ W_{contractL}(\oplus, n) = 1 + W(s_0 \oplus s_1) + W_{contractL}(\oplus, n-2) \leq \sum\limits_{i=0}^{n/2} W[s_{2i} \oplus s_{2i+1}] + \sum\limits_{i=0}^{n/2} c_i $$
  362.  
  363. Notar que la longitud de la lista es $n/2 = |s|/2$ pues por cada elemento nuevo quitamos 2 elementos en $n-2$ de la secuencia original en la siguiente recursión. De esto obtenemos un término lineal sumado a el trabajo de aplicar la función en cada par de la secuencia, por lo tanto:
  364.  
  365. $$ W_{contractL} \in O(n + \sum\limits_{i=0}^{n/2} W[s_{2i} \oplus s_{2i+1}]) = O(|s| + \sum\limits_{i=0}^{|s|/2} W[s_{2i} \oplus s_{2i+1}]) $$
  366.  
  367. Similarmente con la profundidad:
  368.  
  369. $$ S_{contractL}(\oplus, 0) = c_0 $$
  370. $$ S_{contractL}(\oplus, 1) = c_1 $$
  371. $$ S_{contractL}(\oplus, n) = 1 + max\{ S(s_0 \oplus s_1), S_{contractL}(\oplus, n-2) \} $$
  372.  
  373. Donde en cada recurrencia nos quedamos con el máximo $S(s_i \oplus s_j)$ de esa instancia. Podemos acotar este resultado simplemente considerando el máximo $S(s_i \oplus s_j)$ de cualquier aplicación del conjunto $\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)$ como cota. Resulta entonces:
  374.  
  375. $$ S_{contractL} \in O(|s| + \max\limits_{0 \leq i \leq |s|/2} S[s_{2i} \oplus s_{2i+1}]) $$
  376.  
  377. \item \textbf{Trabajo de reduceL:}
  378.  
  379. Comenzando con la definición de reduceL:
  380.  
  381. $$ W_{reduceL}(\oplus, e, 0) = c_0 $$
  382. $$ W_{reduceL}(\oplus, e, 1) = W(\oplus\ e\ s_0) $$
  383. $$ W_{reduceL}(\oplus, e, n) = 1 + W_{contractL}(\oplus, n) + W_{reduceL}(\oplus, e, n/2) = $$
  384. $$ 1 + W_{contractL}(\oplus\ n) = 1 + ( 1 + W_{contractL}(\oplus, n/2) + W_{reduceL}(\oplus, e, n/4) ) = $$
  385. $$ ... = c + W_{reduceL}(\oplus, n/2) + ... + W(\oplus\ e\ s_0)\ o\ c_0\ (dependiendo\ de\ la\ paridad) $$
  386.  
  387. Como vimos en la implementación con arreglos tenemos $n-1$ aplicaciones en total, y como de la ecuación planteada surge la serie geométrica $n/2 + n/4 + ... + 1 = n-1$ de aplicaciones en elementos distintos (utilizamos los nuevos generados anteriormente) tenemos la suma del trabajo en todas las aplicaciones, además del costo lineal de $contractL$ (y la constante). Es decir:
  388.  
  389. $$ W_{reduceL} \in O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y]) $$
  390.  
  391. \item \textbf{Profundidad de reduceL:}
  392.  
  393. Similarmente al caso anterior:
  394.  
  395. $$ S_{reduceL}(\oplus, e, 0) = c_0 $$
  396. $$ S_{reduceL}(\oplus, e, 1) = W(\oplus\ e\ s_0) $$
  397. $$ S_{reduceL}(\oplus, e, n) = 1 + max\{ S_{contractL}(\oplus, n), S_{reduceL}(\oplus, e, n/2) \} $$
  398.  
  399. Al expandir la expresión obtenemos un $max$ con $\log n = \log |s|$ parámetros, de donde nos quedamos con el máximo $S(s_i \oplus s_j)$ para cada caso. De nuevo, podemos acotarlo eligiendo siempre la máxima aplicación del conjunto $\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)$ y nos queda:
  400.  
  401. $$ S_{reduceL} \in O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y]) $$
  402.  
  403. \end{itemize}
  404.  
  405.  
  406. \subsection{scanL es $O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y])$ en trabajo, y $O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y])$ prof.}
  407.  
  408. \begin{table}[h]
  409. \begin{lstlisting}
  410. expandL f _ [] = []
  411. expandL f (x:xs) [y] = [x]
  412. expandL f (x:xs) (y:y':ys) = x:(f x y):expandL f xs ys
  413.  
  414. scanL f e [] = ([], e)
  415. scanL f e [x] = ([e], f e x)
  416. scanL f e s = let (l, res) = scanL f e (contractL f s)
  417. in (expandL f l s, res)
  418. \end{lstlisting}
  419.  
  420. \caption{Definicion de expandL y scanL}
  421. \end{table}
  422.  
  423. \begin{itemize}
  424.  
  425. \item \textbf{Lema:} \texttt{expandL} es $(|s| + \sum\limits_{i=0}^{|s|/2} W[cs_{i} \oplus s_{2i}])$ en trabajo y $O(|s| + \max\limits_{0 \leq i \leq |s|/2} S[cs_{i} \oplus s_{2i}])$ en prof.
  426.  
  427. \textit{Dem:} De la definición de expandL, donde cs es la secuencia parcial y s es la secuencia original, cn y n sus respectivas longitudes :
  428.  
  429. $$ W_{expandL}(\oplus, 0, n) = c_0 $$
  430. $$ W_{expandL}(\oplus, n, 1) = c_1 $$
  431. $$ W_{expandL}(\oplus, cn, n) = 1 + W(cs_0 \oplus s_0) + W_{expandL}(\oplus, cn-1, n-2) = ... $$
  432. $$ ... = c + W(cs_0 \oplus s_0) + W(cs_1 \oplus n_2) + .. + W(cs_{n/2} \oplus s_n) \leq $$
  433.  
  434. Entonces:
  435.  
  436. $$ W_{expandL} \in O(n + \sum\limits_{i=0}^{n/2} W[cs_{i} \oplus s_{2i}]) = O(|s| + \sum\limits_{i=0}^{|s|/2} W[cs_{i} \oplus s_{2i}]) $$
  437.  
  438. Análogamente para la profundidad:
  439.  
  440. $$ S_{expandL}(\oplus, 0, n) = c_0 $$
  441. $$ S_{expandL}(\oplus, n, 1) = c_1 $$
  442. $$ S_{expandL}(\oplus, cn, n) = 1 + max\{ S(cs_0 \oplus s_0), S_{expandL}(\oplus, cn-1, n-2)\} = ... $$
  443.  
  444. De donde resulta:
  445.  
  446. $$ S_{expandL} \in O(|s| + \max\limits_{0 \leq i \leq |s|/2} S[cs_{i} \oplus s_{2i}]) $$
  447.  
  448. \item \textbf{Trabajo de scanL:}
  449. De la definición de scanL:
  450.  
  451. $$ W_{scanL}(\oplus, e, 0) = c_0 $$
  452. $$ W_{scanL}(\oplus, e, 1) = c_1 + W[e \oplus x] $$
  453. $$ W_{scanL}(\oplus, e, n) = c_2 + W_{contractL}(n) + W_{scanL}(\oplus, e, n/2) + W_{expandL}(n/2, n) $$
  454.  
  455. Notar que contractL y expandL de hecho tienen la misma estructura y sólo difieren en aplicaciones distintas, y ambos pueden ser acotados superiormente de una forma similar como en reduce: eligiendo la sumatoria de aplicaciones en $\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)$, pues cada aplicación de $\oplus$ en cada ejecucion tanto de contractL como expandL es miembro de este conjunto, es decir
  456.  
  457. $$ W_{contractL}, W_{expandL} \in O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y]) $$
  458.  
  459. Esto nos resulta muy útil porque ahora alteramos el orden de los términos en la ecuación anterior y vemos:
  460.  
  461. $$ W_{scanL}(\oplus, e, n) = c_2 + W_{scanL}(\oplus, e, n/2) + ( W_{contractL}(n) + W_{expandL}(n/2, n) ) $$
  462.  
  463. Donde observamos la misma estructura que en reduce, con contractL y expandL igualmente acotados. Con el mismo razonamiento anterior de la serie geométrica nos queda:
  464.  
  465. $$ W_{scanL} \in O(|s| + \sum\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} W[x\oplus y]) $$
  466.  
  467.  
  468. \item \textbf{Profundidad de scanL:}
  469. De la definición de scanL:
  470.  
  471. $$ S_{scanL}(\oplus, e, 0) = c_0 $$
  472. $$ S_{scanL}(\oplus, e, 1) = c_1 + S[e \oplus x] $$
  473. $$ S_{scanL}(\oplus, e, n) = 1 + ( 1 + max\{ S_{scanL}(\oplus, e, n/2), S_{contractL}(\oplus, n/2) \} ) + S_{expandL}(n/2, n) $$
  474.  
  475. Con el mismo argumento anterior podemos ver que también acotamos a contractL y expandL:
  476.  
  477. $$ S_{contractL}, S_{expandL} \in O(|s| + \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y]) $$
  478.  
  479. Y también tenemos $\log s$ recursiones. Por lo tanto:
  480.  
  481. $$ S_{scanL} \in O(\log |s|\cdot \max\limits_{(x\oplus y)\in\mathcal{O}_r(\oplus,e,s)} S[x\oplus y]) $$
  482.  
  483. \end{itemize}
  484.  
  485.  
  486. \end{document}
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