Advertisement
Hirwanto

distribusipanas

Mar 29th, 2015
874
0
Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
Latex 2.17 KB | None | 0 0
  1. \textbf{Penyelesaian :}\\
  2. Masalah syarat batas itu dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :
  3. \begin{enumerate}
  4. \item \textbf{Separasi Variabel}, Jika penyelesaiannya
  5. \begin{equation}
  6. U(x,t) = X(x) T(t)
  7. \end{equation}
  8. maka
  9. \begin{eqnarray}
  10. U_x &=& X'T, \qquad U_{xx} = X''T\\
  11. U_t &=& XT'\\
  12. \end{eqnarray}
  13. Dengan menggunakan diperoleh $XT''=a^2 X''T$ sehingga diperoleh
  14. \begin{equation}
  15. \frac{X''}{X} = \frac{T''}{a^2 T} = -\alpha^2(\text{\, supaya mempunyai solusi/osilasi})
  16. \end{equation}
  17. \item Persamaan diferensial biasa
  18. \begin{eqnarray}
  19. X''+ \alpha^2 X    &=&0\\
  20. T''+ \alpha^2 a^2T &=&0
  21. \end{eqnarray}
  22. \item Syarat batas homogen. Dengan menggunakan diperoleh
  23. \begin{equation}
  24. 0 = U(0,t) = X(0)T(t) = 0(\text{\, Jika\, } T(t)=0\text{\, maka mempunyai penyelesaian trivial})
  25. \end{equation}
  26. Karena $T(t)\neq 0$ maka $X(0)=0$
  27. \item Persamaan diferensial dalam $X$
  28. \begin{equation}
  29. X''+ \alpha^2 X= 0, X(0)=0
  30. \end{equation}
  31. Penyelesaian umum :
  32. \begin{eqnarray*}
  33. X(x) &=& c_1 \cos \alpha x + c_2 \sin \alpha x \\
  34. X(0) &=& c_1 \cos 0 + c_2 \sin 0 =0 \\
  35.  c_1&=& 0
  36. \end{eqnarray*}
  37. Akibatnya,
  38. \begin{equation}
  39. X_{\alpha}(x) = \sin \alpha x, \alpha>0
  40. \end{equation}
  41. \item Persamaan diferensial dalam $T$
  42. \begin{eqnarray*}
  43. T' + \alpha^2 a^2 T = 0
  44. \end{eqnarray*}
  45. Penyelesaiannya :
  46. \begin{equation}
  47. T_{\alpha}(t) = e^{-\alpha^2 a^2 t}
  48. \end{equation}
  49. \item Himpunan penyelesaian
  50. \begin{eqnarray*}
  51. U_{\alpha} (x,t) &=& X_{\alpha}(x) T_{\alpha}(t)\\
  52.                 &=& e^{-\alpha^2 a^2 t} \sin \alpha x , \alpha >0
  53. \end{eqnarray*}
  54. \item Superposisi integrasi
  55. \begin{eqnarray}
  56. U(x,t) = \int_0^{\infty} B(\alpha) e^{-\alpha^2 a^2 t} \sin \alpha x \text{\, d}\alpha, \alpha >0
  57. \end{eqnarray}
  58. Karena $U(x,0)=f(x)$,
  59. \begin{equation}
  60. f(x) = \int_0^{\infty}B(\alpha) \sin \alpha x \text{\, d}\alpha
  61. \end{equation}
  62. dengan
  63. \begin{equation}
  64. B(\alpha) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} f(z) \sin \alpha z \text{\, d}z
  65. \end{equation}
  66. Jadi,
  67. \begin{equation}
  68. U(x,t) = \int_0^{\infty} B(\alpha) e^{-\alpha^2 a^2 t} \sin \alpha x \text{\, d} \alpha
  69. \end{equation}
  70. dengan
  71. \begin{equation}
  72. B(\alpha)= \int_0^{\infty} f(z) \sin \alpha z \text{\, d} z
  73. \end{equation}
  74. \end{enumerate}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement